在组合数学中，十二组合形式指的是两个有限集之间的12个计数问题，涉及有限元素的置换、组合和分划。最早系统化这12个问题的人是意大利裔美国数学家Gian-Carlo Rota。
记号约定：在下文中，令N和X是有限集合，n和x分别是N和X的势，也就是它们的元素数量。要计数的对象是从N到X的不同映射的数量。这些映射将被限定为单射、满射或者不加限制，一共3种条件；映射将依照不同的等价类计数，分别是区分N和X的元素、只区分N的元素、只区分X的元素和不区分上述的任何元素，一共4种计数方案。不同的3种条件和4种方案构成了12种各不相同的计数方法。

用“把球放进盒子里”来具象化这些问题是再合适不过的，可以把上面不同的计数方法和限制条件用放球的方法理解。从N到X的单射对应不允许一个盒子里放多个球的方案，满射对应不允许空盒子的方案；不同的等价类计数则分别对应区分球和盒子、只区分球、只区分盒子和不区分球或盒子的方案。把这些组合一下，可以得到12个对应的放球问题，如下图所示（我就不一一翻译了）：

12个问题的解决难度是不一样的。从结果来看，其中2个是trivial的，5个涉及x和n的乘积（换句话说，是高中生可以解决的问题），剩下5个涉及无初等表达式的特殊函数。答案如下图所示：

其中：
x^(n_)=x(x-1)…(x-n+1)=x!/n! （位于(2,4)的符号）
大圆括号：组合数
花括号：第二类斯特林数
方括号：艾佛森括号，当括号内为真命题时等于1，否则为0（其实就是特征函数）
p_x(n)：n个元素的x-划分的数量（位于(1,1)和(3,1)的符号，这个真的没有别名）

关于上面的结果，我只说四点比较重要的....
（1） 位于(2,1)和(2,2)的两个问题是trivial的，它们都对应了区分X的元素的N到X的单射（区别在于是否区分N的元素），也就是在不区分盒子的情况下把球放进盒子的方案，不允许一盒多球。首先n必须不大于x才能有可行方案，否则由于鸽巢原理，单射是不存在的；其次由于盒子不加区分，一旦一种方案可行，对这种方案无论怎么置换/变动都无法和原方案区别，所以最多有1种方案。这就是[n≤x]的来源。
（2） 一共有5个高中生可以解决的组合问题，其中只有(3,3)的问题比较有意思，剩下四个都是一眼可看出的结论。(3,3)的问题对应区分盒子，不区分球，且不允许空盒存在的放法，熟练排列组合问题的同学可以看出这就是隔板法的应用（一列n个球之间放x-1块板子）。有n-1个空隙可供插入，所以得到图中的答案。
（3） 花括号对应的是第二类斯特林数。其定义为把n个元素划分为x个非空集合的划分数量，恰好是(3,2)对应的问题。第二类斯特林数有比较简洁的递推公式，也可以根据定义写成关于n和k的单重求和，但是没有关于n和k的封闭形式。(1,2)涉及到了第二类斯特林数的求和，这个求和等于贝尔数B_n（同时B_n的定义也对应(1,2)的问题）。和第二类斯特林数一样，贝尔数没有关于n的封闭形式表达式。在(3,4)中的表达式对k求和会得到有序贝尔数a(n)。
（4） P_x(n)，即在(3,1)和(1,1)中出现的记号，是n个元素的x-划分数量（分成x份）。这个函数同样不存在关于n和k的封闭表达式，不过可以通过生成函数计算。如果不限制x的话，这个函数将变为划分函数p(n)，计数的是n个元素的所有划分的数量。

完结。

点赞碱基。

可以讲下广义错排问题和拉盖尔多项式的关系吗大哥哥

碱溶液

水

虽然但是，fumo镇楼图可爱捏