期待

1. 一些发散级数
∑(1/n)，即对全体自然数的倒数求和，是发散的级数。所有的微积分课都会讲，证明也非常简单。
但∑(1/p)呢？（全体素数的倒数和）
众所周知随着n增大，不大于n的素数分布越来越稀疏。∑(1/p)相当于从∑(1/n)里面拿出了非常非常多的项，那么这个级数的敛散性如何？
结论是∑(1/p)也发散。事实上这个级数的部分和增长速度和ln(ln(n))相当，比起∑(1/n)的增长速度ln(n)慢了不少，但不影响它仍然是发散的。

好的

前排

好好好

2. 还是发散级数
下面这条结论是真命题：如果{un}是一个非递增的正项数列，而且un=o(1/n)（即un在n趋于无穷时是比1/n更高阶的无穷小），那么级数∑(un)是收敛的。
但其逆命题不成立，即un=o(1/n)不能推出∑(un)收敛。反例是un=1/(n*ln(n))，很明显un=o(1/n)，但用积分审敛法可以轻松证明∑(un)发散。
以下结论也都是不成立的（上面对un的限制不再适用）：
（1）如果un=o(vn)，∑(vn)收敛，那么∑(un)收敛；
（2）如果∑(un)收敛，那么|u(n+1)/un|是有界的；
（3）如果∑(un)收敛，那么其奇数项和偶数项构成的级数也收敛。

3. 还是级数的敛散性
可能不少人都想过这样的问题：是否存在发散级数和收敛级数之间的清晰界限？（假设级数都是正项且单调的级数）即，是否存在一个数列{un}，使得增长比{un}快的级数都发散，比{un}慢的都收敛？
上面的说法很模糊。但无论如何定义这样的“界限”，这样可以作为清晰“界限"的级数都是不存在的。在Baby Rudin的习题中，有这样两题清晰地指向了这个结论（尽管不能直接作为证明）：
下面设un是一个正项递减的级数，sn是其前n项和，rn是其第n项之后的和。
（1）如果∑(un)发散，那么级数∑(un/sn)也发散；
（2）如果∑(un)收敛，那么级数∑(un/√rn)也收敛。
换句话说，给定一个收敛/发散的级数，总能构造出比它增长更慢（更快）的发散（收敛）级数。

4. 又双叒叕是级数
今天最后一更，出处是知乎。
条件收敛是交错级数的一种性质，这种级数本身收敛，但各项的绝对值之和不收敛，与绝对收敛的交错级数相对应。
条件收敛的级数可以轻而易举地被重排玩坏。绝对收敛的级数无论怎么重排都只会收敛到一个固定的值，但条件收敛的级数则不是，可以通过重排改变其收敛的值。
不仅如此，黎曼重排定理声明：任何一个条件收敛的级数都可以通过重排收敛到任何一个实数值，甚至发散！
比如以下的计算过程：

膜

前排

比较好奇的是这里的奇葩更多是指什么

预测此贴会火，先占前排

没有调和级数去掉分母含9项收敛我是不认可的

好贴，先收藏上大一买了两册数学分析中的反例，发现啥也看不懂，正如这个贴子，先收藏，以后再说