Schwarzschild坐标系；r<2M的部分对应到r<2M的Schwarzschild坐标系；而r=2M的部分，也就是U=V=0 这个点，与Schwarzschild坐标系的r=2M部分不存在微分同胚映射。
　　这种割裂，无疑就对Kruskal坐标系能否作为Schwarzschild坐标系的延拓打上了问号。
　 　随后来看我在后面给出的一种纯游戏的坐标变换：r=2M+2M*exp(u/2M)（这里取r0=1/l=2M），从而逆映射为：u=2M*ln(r /2M-1)。在这种映射下，显然新的坐标系只能映射到r>2M的Schwarzschild坐标系的部分，r<=2M的部分都无法对应到。 但，如果我们以开始至看到这个坐标系而不知道Schwarzschild坐标系的话，我们如何能知道r<=2M部分的存在呢？而且，这个坐标系下的 度规是显然没有奇异的。
　　再来一个例子，请看Schwarzschild时空的嵌入图，取r=2M+z^2/8M，这里z就是嵌入的维度。这 样，在空间，我们的世界就是五维时空中的两张通过一个洞连接起来的膜，而这个洞的形状又可以通过抛物线函数来连接。在这个情况下，连接上下两张膜的抛物线 形洞的“中央”就是r=2M的圆环，虽然这个圆环在有限的坐标时间内是无法达到的，但在自由落体者的坐标系中，有限时间内可以达到并穿越这个圆环，从而从 上半膜进入到下半膜——在下面就是从黑洞中辐射出来。虽然这两件事情都需要经过无穷长的坐标时间才能完成。
　　因而，这里就有两个问题：
　　1，嵌入图的坐标明显没有r<2M的部分，但嵌入图的时空在上下两张膜上都能与Schwarzschild坐标的r>=2M的部分相容。 既然如此，为何我们要说Kruskal坐标是对Schwarzschild坐标的延拓而嵌入图就不是呢？事实上，如果将两个Schwarzschild坐 标的r<2M部分减去，然后在r=2M部分粘合，这样构成的类似具有双黎曼面的复合流形与嵌入图所描述的流形是微分同胚的。因而，这里就抛出一个问 题：如何通过一个数学上的坐标系来判断它究竟描述了哪个物理上的时空，以及哪些部分能描述时空而哪些部分不能？
　　2，坐标时间无穷远的未来才能实现的事情，在自由落体观测者的有限内秉时间内能够实现，那么在这个“有限时间”之后发生的事情，到底是否存在？也就是 说，从坐标时间来看，自由落体者需要经过无穷场的时间才能到达视界边界，而自由落体者看来有限的时间就可以，比如说需要经历时间T。那么自由落体者看来的 T+1这个时刻到底是否存在？在嵌入图坐标系中，这个时刻貌似是可以存在的，但在别的坐标系中呢？比如在标准的Schwarzschild坐标系中，这个 情况就是不可能发生的。那么，到底哪个坐标系描述了真实的物理？
　　对于第二个问题，事实上在很多Schwarzschild坐标系的变形坐标系（这里先不说是否满足相容性条件）中，原本发生在t为无穷出的事情都会被 奇迹般地放到有限的坐标点上完成。比如自由落体者的Eddington-Finkelston坐标系，通过u=t-ln|r/2M-1|将无穷远的未来发 生的事情拖到了有限的u处。
　　但是，对此事实上我们无能为力，因为作为物理时空的数学描述的坐标系，我们现在并不能说Schwarzschild坐标系就是对的，它的坐标t就是时 间，而EF坐标系就是错的，它的u就不是时间。我们完全没有能力说这句话，因为我们并没有一个判定什么坐标系才是“最贴切描述自然”的评判标准。
　　所以说，一些从Schwarzschild坐标系看来是不可能发生的事情，在EF坐标系或者别的坐标系看来，就可能发生了，比如测地线穿越了视界。
　　这也可以说，是坐标系的冗余自由度带来了一些非物理的不自然的结果。但如何消除这些冗余自由度我们还不知道。也许谐和坐标条件可以给出一些信息，但从 谐和坐标条件看来，Schwarzschild坐标是不满足条件的，内向与外向的Eddington坐标也不满足条件，空间部分各向同性的各向同性坐标系 （r=r'(1+M/2r')^2）也不满足这个条件，Kruskal坐标也不满足。可见，这个谐和坐标条件有多么苛刻。如果认为不满足这个坐标条件的坐 

这个欧拉示性数为2的球面，对应的是欧拉示性数为1的点，所以整个里外颠倒坐标系的拓扑不是寻常拓扑（自然拓扑）。但从现在所取的图册来看，则依然会出现 “跑到不存在”这么一件很奇怪的事情。
　　Kruskal坐标以及Eddington-Finkelstan坐标都有着与里外颠倒坐标相同的问题——尤其是Kruskal坐标，它的U=V=0 的点也是改变了拓扑了的。Eddington-Finkelstan坐标则在世界上是给原来的Schwarzschild坐标补上了无穷远边界，所以本质 也修改了流形的拓扑——大家都知道，一个无穷大二维平面如果补上了无穷远点，那么就和原本的平面不同胚了，而这个无穷远点的补充方法将给出不同的拓扑空 间。
　　最后总结说来，就是基本上不存在不破坏图册相容性也不改变拓扑结构的坐标变换方法来消除一个度量流形的可达到奇异性区域。
　　相比来说，嵌入图的操作虽然改变了拓扑结构，但在保证图册相容性方面倒是很出色。
　　下面说点别的东西。
　　在证明只收到引力与规范力作用的点粒子世界线的线元（g_ij U^i U^j）沿着世界线是不变量的时候，发现一个很有意思的问题。
　　有兴趣的人可以从带电粒子的拉氏量来推导其测地线方程，最后会发现这么一点：
sqrt(G) e g^ik U^j F_kj=U^j D_j U^i -U^i U^j (D_j G)/2G
　　其中G=g_ij U^i U^j。这个方程的解是很困难的，但是如果和无电荷的情况相比，则发现有点有意思的东西。对于无电荷的情况，上述方程可以下为如下形式：
U^j D_j U^k (delta^i_k-U^i U_k /G)=0
　　括号中的部分是一个张量，而且显然不可能为零，行列式也不为零，因而其解就是U^j D_j U^k=0，自然就能证明U^j D_j G=0。但在有电荷的情况，就比较麻烦了。
　　对此，我们先看这个方程的一部分：sqrt(G) e g^ik U^j F_kj=U^j D_j U^i。如果这个部分成立，我们自然也能有U^j D_j G=0。这点很容易证明，等式两边同乘一个U_i就好了，左边是2-form与两个U的乘，结果自然是零，而右面就是U^j D_j G（除个2）。
　　而如果U^j D_j G=0，那么原始方程中被去掉的部分也就自然为零了。
　　可见，满足下面这个方程的所有曲线都是原始方程的解，但反过来是否成立呢？是否存在满足原始方程而不满足简略后方程的解呢？
　　这个问题很有意思，可以这么总结：
　　现有偏微方程F(x,dx)=A(x,dx)，如果已知F(x,dx)=0的所有解函数都是F=A的解，那么是否存在是F=A的解而不是F=0的解的解函数呢？如果存在，其存在条件是什么？
　　现在考虑这么一个简单的情况：如果F=A不能写作比如FG=0的情况，也即方程不可分解，那么F=A存在不是F=0的解的条件是什么呢？
　　从柯西定理可以知道，许多类偏微方程的解由两样东西决定，一个就是这个偏微方程，另一个就是边界数据集。一旦两者确定了，那么解就能唯一确定。因而， 如果F=0与F=A具有相同边界（这里的边界意义很广，比如流形中如果存在无定义区域，那么这个区域就必须要提供边界，而不单单指最外围的边界，比如无穷 远边界），而且F=0的所有解能够跑遍边界上的所有边界数据集，那么从柯西定理可知，F=A的所有解也都被囊括了。
　　不知道这个证明是否足够强劲，有兴趣的朋友不妨一起探讨探讨。


我记得周培源先生对广义相对论采取的就是谐和坐标条件是物理条件的观点，只有满足谐和坐标条件的解才有直接的物理意义。但貌似现在的主流学界并不采取这种观点，所以我也想了解一下广义相对论当中得到爱因斯坦方程的解以后，如何将其与测量结果相联系。

　　测量结果是与坐标的选取无关的。无论怎么取坐标，结果都是一样的——当然，换个观测者，从不同的观测者来测量的话，那是另外一个问题。
　　这里需要搞清楚的是这么一个关系：首先，有时空；其次，有观测者；第三，是坐标，而且前两者定了以后坐标还能随便换，实在不行我来个费移照样换坐标。当然咯，测量的时候，至少局部坐标是锁定了的。
　　至于谐和坐标条件与物理意义嘛，这个其实众说风云，就和规范理论中的规范约束一样，至少就目前看来只是一种数学上引入的消除冗余自由度的手段，是否能给出唯一的物理就不知道了。
　　反正，Schwarzschild坐标是不满足谐和坐标条件的。


顶坟也要顶了,LA有个地方错了:
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再来一个例子，请看Schwarzschild时空的嵌入图，取r=2M+z^2/8M，这里z就是嵌入的维度。这样，在空间，我们的世界就是五维时空中的两张通过一个洞连接起来的膜，而这个洞的形状又可以通过抛物线函数来连接。在这个情况下，连接上下两张膜的抛物线形洞的“中央”就是r=2M的圆环，虽然这个圆环在有限的坐标时间内是无法达到的，但在自由落体者的坐标系中，有限时间内可以达到并穿越这个圆环，从而从上半膜进入到下半膜——在下面就是从黑洞中辐射出来。虽然这两件事情都需要经过无穷长的坐标时间才能完成。
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不是从上半膜到下半膜，进入视界的结果是撞上奇点。穿过视界要求穿越粒子的间隔是类光的，所以罗森桥也叫不可穿越的虫洞。（从《黑洞与时间的性质》上得知的）


　　恩，这里说的的确不够严谨，在穿越的地方应该加上一句“只有光”。
　　当然，考虑到光所带有的能量动量，它能不能穿越还不好说……

欧拉示性数为2的球面，对应的是自映射的不动点吗？。。。。。。。。。。。。
欧拉示性数为1的点不会是奇点吧


汗,我打错字了,应该是类空不是类光.
还有,再扯下说到的那本书,里面第6章有讨论什么坐标系才算是物理的坐标系,跟温度扯上关系了.或许这是个物理学突破的缺口,我觉得广相不可能是对的,但自己没本事反相,还是先good good study吧

(Thurston 猜测:双曲空间)边界由环面构成的三维空间,空间中每个二维球面都是某个球
的边界,每个不可压缩的环面可以用适当的方法形变到边界;这种空间被猜测为带有常负曲
率的空间,并且可以通过双曲球的一个离散对称群得到.
突然想到的有趣猜想，哈哈哈


金玉其表，实则空洞乏味。
街景闹市好事者甚多，悲哉悲哉
无人会意，好帖难得，鹤立鸡群，寻知音，高人何故不相见

1L高人难得一见，吧中专精于学术之人实乃罕见，甚幸

　　我不高……
　　你说的我就一点概念都没有……
　　看来还要多看看数学……
　　等11月份再看吧……