如何想到换这种抽象的元

不知道，不如用我们熟悉的方式，万能，启动！

上下同乘1-（sinx+cosx），这题就变得和喝水一样简单。
不过你想知道这些方法是怎么想出来的，答案是想办法凑出-1。我是用sinx方加cosx方，你写的是用二倍角凑-1所以这样换元。思路就是这样。

无脑凑齐次

这并不抽象啊，你不好好观察代数结构的问题。
我们想要一个齐次的好性质，如果把sin或者cos看成一次的两个元，你会发现分子分母因为那个1而不齐次。而在三角函数里面，1既可以是0次，也可以是2次（勾股定理，sin∧2θ+cos∧2θ=1），所以我们当然就考虑把sin和cos都变成二次（二倍角）