问:有数学家说丁小平指出的不过是古典微积分原理的问题,这些问题在实变函数理论和现代分析那里早已解决。对此观点你们怎么看?
答:
在《略论作为微积分原理的完善的实变函数》(《前沿科学》2016(4))一文中,丁小平先生作了专门的回答。这篇文章是发人深省的。举几个例子:
第一,丁小平指出测度论的错误。这事实上是掀翻了现代数学的基石。丁小平先生指出:“测度论的逻辑脉络是:区间及其对应的线段是有测度的,而代数数对应的点的测度为0,又因为区间及其对应的线段是由代数数对应的点和超越数对应的点构成的,所以,超越数对应的点就是测度的数学承担者。事实上,区间及其对应的线段不是由二者,而是由三者——代数数对应的点与超越数对应的点以及点与点的间隙共同构成的,勒贝格只排除代数数是测度的数学承担者,但却不知道与实数一样多的间隙存在,就武断地说超越数或其对应的点是测度的数学承担者,这样使用排除法是错误的。”丁小平先生接着指出:“现行实数从来就没填满过数轴,因为现行数和点都是无度量的,而数轴是有度量的,无度量的数或点不管多到何种程度,数轴都是有空隙的。因此,从这种武断出发的任何证明都是立不住的。数是不能有测度的,只有量才可以有测度。量是数的差,尽管量也要用数来表达。超越数对应的点与代数数对应的点在解析几何意义上没有任何不同,代数数承担不了测度,超越数也同样承担不了测度。”
前面我们说,微积分原理的第二次危机是由勒贝格测度及以之为依据的勒贝格积分解决的,既然勒贝格测度理论是立不住的,那么,问题是否解决了不是再清楚不过了吗?
第二,数学的历史而言,诚如丁小平先生所说:“分析数学,尤其是近代分析,从来就不像对数学史知之甚少的数学工作者所理解的那个样子,也从来不像当代数学教科书所写的那个样子。以S.D.泊松(S.D.Poisson,1781-1840)为代表的数学家从来就不同意以柯西提出的微积分原理,以亨利·庞加莱(H.Poincaré、F.Klein,1849-1925)等为代表的数学家从来就不同意实变函数理论。人们似乎忘记,‘庞加莱、克莱因和希尔伯特,是在19世纪和20世纪数学交界线上耸立着的三个巨大身影’,‘三个巨大身影’中的两个都反对的东西,竟然会向希尔伯特一边倒,个中就没有数学之外的原因在起作用吗?”这是不无道理的,就像张景中院士所说:“数学家也要吃饭、穿衣。”
贝克莱指出:“在某种错误的补偿中某些错误抵消其它错误,从而掩盖其中存在的漏洞。”19和20世纪之交就出了这样一位数学领袖,他就是希尔伯特。希尔伯特通过肯定康托定理,一下子就把千疮百孔的数学变成了完美的数学。丁小平先生说康托定理是错误的,他给出的证明十分简明:
假设A、B、C、D、E为无限集合,A=B+C+D,再设C=E,则E为A的真子集。A中的真子集C足以与E一一对应(有公理保证),故而,E中再无元素可与B和D对应。这个简单的证明对无限集合和有限集合都适用。
丁小平先生接着指出:“只看到A与E中的元素是无限的,就在不加区分增长速度的情况下举出某一个对应方式,很不妥。这种观点的幼稚之处在于,因为E中具有无限多元素,所以,E就可以与(B+C+D)中的元素一一对应下去,可是,他们忘记了C与E是同步的无穷多,从而,B和D在E中再找不到对应项。”
答:
在《略论作为微积分原理的完善的实变函数》(《前沿科学》2016(4))一文中,丁小平先生作了专门的回答。这篇文章是发人深省的。举几个例子:
第一,丁小平指出测度论的错误。这事实上是掀翻了现代数学的基石。丁小平先生指出:“测度论的逻辑脉络是:区间及其对应的线段是有测度的,而代数数对应的点的测度为0,又因为区间及其对应的线段是由代数数对应的点和超越数对应的点构成的,所以,超越数对应的点就是测度的数学承担者。事实上,区间及其对应的线段不是由二者,而是由三者——代数数对应的点与超越数对应的点以及点与点的间隙共同构成的,勒贝格只排除代数数是测度的数学承担者,但却不知道与实数一样多的间隙存在,就武断地说超越数或其对应的点是测度的数学承担者,这样使用排除法是错误的。”丁小平先生接着指出:“现行实数从来就没填满过数轴,因为现行数和点都是无度量的,而数轴是有度量的,无度量的数或点不管多到何种程度,数轴都是有空隙的。因此,从这种武断出发的任何证明都是立不住的。数是不能有测度的,只有量才可以有测度。量是数的差,尽管量也要用数来表达。超越数对应的点与代数数对应的点在解析几何意义上没有任何不同,代数数承担不了测度,超越数也同样承担不了测度。”
前面我们说,微积分原理的第二次危机是由勒贝格测度及以之为依据的勒贝格积分解决的,既然勒贝格测度理论是立不住的,那么,问题是否解决了不是再清楚不过了吗?
第二,数学的历史而言,诚如丁小平先生所说:“分析数学,尤其是近代分析,从来就不像对数学史知之甚少的数学工作者所理解的那个样子,也从来不像当代数学教科书所写的那个样子。以S.D.泊松(S.D.Poisson,1781-1840)为代表的数学家从来就不同意以柯西提出的微积分原理,以亨利·庞加莱(H.Poincaré、F.Klein,1849-1925)等为代表的数学家从来就不同意实变函数理论。人们似乎忘记,‘庞加莱、克莱因和希尔伯特,是在19世纪和20世纪数学交界线上耸立着的三个巨大身影’,‘三个巨大身影’中的两个都反对的东西,竟然会向希尔伯特一边倒,个中就没有数学之外的原因在起作用吗?”这是不无道理的,就像张景中院士所说:“数学家也要吃饭、穿衣。”
贝克莱指出:“在某种错误的补偿中某些错误抵消其它错误,从而掩盖其中存在的漏洞。”19和20世纪之交就出了这样一位数学领袖,他就是希尔伯特。希尔伯特通过肯定康托定理,一下子就把千疮百孔的数学变成了完美的数学。丁小平先生说康托定理是错误的,他给出的证明十分简明:
假设A、B、C、D、E为无限集合,A=B+C+D,再设C=E,则E为A的真子集。A中的真子集C足以与E一一对应(有公理保证),故而,E中再无元素可与B和D对应。这个简单的证明对无限集合和有限集合都适用。
丁小平先生接着指出:“只看到A与E中的元素是无限的,就在不加区分增长速度的情况下举出某一个对应方式,很不妥。这种观点的幼稚之处在于,因为E中具有无限多元素,所以,E就可以与(B+C+D)中的元素一一对应下去,可是,他们忘记了C与E是同步的无穷多,从而,B和D在E中再找不到对应项。”
