解析：
连续抛一枚硬币，如果出现正面就游戏终止，记录抛硬币的次数X1，显然X1的分布律为
pk=P(X1=k)=1/2^k
(1)
第一种方法：
将次数与概率写出来
1:1/2
2:1/4
3:1/8
…
k:1/2^k
将每项相乘后再求和可得
E(X1)=1/2+2/4+3/8+…=2
第二种方法：
从出现0次正面开始有概率p=1/2需要1次到达游戏终止
从出现0次正面开始有概率1-p又回到0次正面，这样需要E(X1)+1次到达游戏终止
所以
E(X1)=p*1+(1-p)*(E(X1)+1)
由此可得E(X1)=1/p
对于p=1/2，可得E(X1)=2
(2)
从出现0次正面开始有概率p需要1次到达连续出现1次正面，在此基础上有概率p需要1次到达游戏终止，共需要2次到达游戏终止。同时也有概率1-p回到0次正面，这样需要E(X2)+2次到达游戏终止。
另外从出现0次正面开始有概率1-p又回到0次正面，这样需要E(X2)+1次到达游戏终止
所以
E(X2)=p^2*2+p(1-p)*(E(X2)+2)+(1-p)*(E(X2)+1)
由此可得E(X2)=(1+p)/p^2=1/p+1/p^2
对于p=1/2，可得E(X2)=6
(3)
原始状态用0表示，X3=k发生了的状态用1k表示，出现任意X3连续出现2次的状态用2表示，从0到2的期望次数用E表示，从1k到2的期望用Ek表示
可知
E=sigma(pk*(1+Ek))
=1+sigma(pk*Ek)
而Ek之间的关系为
E1=p1*1+p2*(1+E2)+…+pk*(1+Ek)+…
E2=p1*(1+E1)+p2*1+…+pk*(1+Ek)+…
…
令pk*Ek=Fk
则方程组变为
F1/p1-F2-…-Fk-…=1
-F1+F2/p2-…-Fk-…=1
…
对于pk=1/2^k
可以手算求出
E=1/(1-1/3-1/5-1/9-1/17-1/33…)~=4.2463