这个光栅衍射公式是通过光栅的干涉效应推导出来的。下面是一般的推导过程：假设有一个单色平行光束，经过透镜L1后，被一个光栅分为两部分，一部分被反射，另一部分被折射。反射光束和折射光束都会发生干涉，形成明暗交替的衍射图样。设光栅上每个刻痕的宽度为d，相邻刻痕之间的距离为a，光栅的总宽度为W。则光栅的方程可以表示为：dsinθ=±kλ/2 （k=1,2,3,...）其中，θ是光线与光栅法线的夹角，k是明条纹的级数，λ是光波的波长。这个方程表示了光线通过光栅后，会在与光栅法线成θ角的平面上产生明暗交替的干涉条纹。当光线垂直于光栅时，即θ=0时，干涉条纹为一系列的平行线。此时，干涉条纹的宽度为：d=±kλ/2 （k=1,2,3,...）这意味着，在垂直于光栅的方向上，相邻的干涉条纹之间的距离为d。现在考虑一个反射光束和一个折射光束之间的干涉情况。设反射光束和折射光束之间的相位差为Δϕ，则干涉产生的光强为：I=I0[1+cos(Δϕ)]其中，I0是单个反射或折射光束的光强。通过几何关系可以计算出反射光束和折射光束之间的相位差为：Δϕ=2π(d/Λ)cos(θ1)sin(θ2)其中，Λ是光栅的周期，θ1和θ2分别是光线与光栅法线的夹角和光线与透镜L2的交点与透镜中心的连线与光轴的夹角。将相位差代入干涉光强的公式中，得到：I=I0[1+cos(2π(d/Λ)cos(θ1)sin(θ2))]对于特定的干涉级数k，可以表示为：I=I0[1+cos(kπ(d/Λ)cos(θ1)sin(θ2))]当透镜L2的孔径角很小时，sin(θ2)可以近似为tan(θ2)，因此可以进一步简化为：I=I0[1+cos(kπ(d/Λ)cos(θ1)tan(θ2))]最后，考虑到正弦函数的周期性，可以将kπ/2简化为nπ/2，得到最终的光栅衍射公式：I=I0[1+cos(nπ(sin(θ1)/Λ)cos(θ2))]其中，n是干涉级数，sin(θ1)和cos(θ1)分别是光线与光栅法线的夹角和光线与透镜L1的交点与透镜中心的连线与光轴的夹角的正弦和余弦值。
