首先，观察被积函数 $f(x)=\ln(1+x)$，我们发现它在 $(-1,+\infty)$ 区间内是一个可积函数。接下来，我们可以使用分部积分法对该积分进行求解：$$\begin{aligned}\int_0^1\ln(1+x)dx&=[x\ln(1+x)]_0^1-\int_0^1\frac{x}{1+x}dx\\&=1\ln2-\int_0^1(1-\frac{1}{1+x})dx\\&=\left[x-\ln(1+x)\right]_0^1\\&=1-\ln2\end{aligned}$$因此，$\int_0^1\ln(1+x)dx=1-\ln2$。