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求证一个关于等势的定理
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若A∩B = ∅且A与B等势(即A~B),则称A与B等势不交。
若A与B等势不交且C与D等势不交且AUB~CUD
求证A~C
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1楼
2023-05-07 01:23
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2楼
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存在AUB到CUD的双射g,以及D到C的双射h,做A到C的映射f
f(x)=g(x),若g(x)∈C
f(x)=h(g(x)),若g(x)∈D,
再验证f是单射,假设存在x1≠x2∈A使得g(x1)=h(g(x2)),若存在y∈D\g(B)使得h(y)=g(x1),则有y=g(x1)=g(x2),得到x1=x2,矛盾。则存在y∈D∩g(B),使得h(y)=g(x1),于是y=g(x2),可得A与B交非空,矛盾。类似可证存在C到A的单射,于是A~C
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3楼
2023-05-07 17:30
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