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来道题

第一问显然，摆一个行列式即可
其实还要注意r(A)=2，但是还好这题没在这下坑
得到a=4或-2

第二问就是让V1的某个基不能被V2表示
注意到α1=β1，所以只要考虑α2和α3
先计算一下B的行列式，det(B)=-a³+3a-2=-(a+2)(a-1)²
当a≠-2且a≠1时，V2=R，肯定不对
所以只要考虑a=1或-2的情况
当a=1的时候，B退化到一维空间，基向量(1,1,1)'=α1，V2甚至是V1的真子空间，当然成立
当a=-2时，B是二维的，基向量{(1,-2,1),(-2,1,1)}，计算det([β2,β3,α2])和det([β2,β3,α3])这两个行列式，等于0说明这个向量包含在B里，不等于0就说明不在，只要这俩有一个不在，a=-2就成立了。计算出来后者=18≠0，所以a=-2成立
综上，(2)的答案为a=1或-2

第三问结合上面的讨论，只要a≠-2，V1和V2中就有一个是R³直接成立，只要判断a=-2时V1+V2是不是R³即可
当a=-2时，由第二问的结论，α3不能被β2和β3线性表示，所以{α3，β2，β3}就是R³的一组基，成立
这样就证明了第三问

我不理解为什么如果 f(z) mod p= fp(z mod p) where f(x) permutation in Z n and fp(x)=a0 mod p+a1 mod p x+••••• in Z p permutational polynomial

A是线性变换在基{εi}下的矩阵，所以Aε1=2ε1-3ε2+ε3，Aε2=ε1-2ε2+ε3，Aε3=(2-a)ε1+(a-2)ε2+ε3
Aη1=Aε1=(0,-1,1)'=-η2+η3
Aη2=A(ε2-ε1)=-ε1+ε2=η2
Aη3=A(ε3-ε2)=(1-a)ε1+aε2=(1,a,0)'=η1+aη2
所以A在{ηi}下矩阵为[0,-1,1;0,1,0;1,a,0]

B里面只有一个地方有a，就拿它来算特征值
算出来特征值是一个-1和两个1
-1单根当然不用算了
对于1对应的，算出来是当a=1时，c1(1,0,1)'+c2(0,1,0)'；当a=0时，c(0,1,0)'
所以a=1是成立的

不能和对角矩阵相似也就是不能对角化
Ax=λx→λ=-1，a=2
只有有n个线性无关的特征向量时才能对角化，而此时a只能为1
所以a=2时不能对角化，因为它没有3个线性无关的特征向量