（续）
不妨扯远点说几句。
极限理论，虽说是在解决所谓的“第二次数学危机”中的难题的时候完善起来的，
但是，如果只说一个“序列极限ε-Μ模式”（而不去全面推导微积分中的各个概念）的话，它本身并不深奥，没超出小学可以承受的难度。
所以我觉得，某些朋友一直纠结于无限循环小数的概念上想不通，或许不能光归结于高数没学好。
也许是初等数学就需要的基本逻辑思维能力缺少训练所致。
这些朋友可能没想到，他们纠结不清的无限循环小数（有理数的小数表示）问题，
既不是“第二次数学危机”中遇到的难题，
也不是“第一次数学危机”中遇到的难题，
而是“第一次数学危机”之前的更早，
古人老早就已经解决过的了。
下面书归正传。
（待续）

（续）
在小学算术中，按除法笔算规则定义了循环小数，实际是宣布循环小数等于两个整数相除所得的商，也就是等于一个分数。
例如，“0.3……循环”是在1除以3，或2除以6，……等等的除法计算中形成的，
所以，“0.3……循环”=1/3。
同时，无限小数截断成有限小数，可以作为近似值。
例如：
0.3，就是“0.3……循环”的误差小于0.1的近似值；
0.33，就是“0.3……循环”的误差小于0.01的近似值；
0.333，就是“0.3……循环”的误差小于0.001的近似值；
………………
等等。
试想，我们按照上述的精度次序，将所有如上形式的近似值，排成一个无穷序列：
{0.3，0.33，0.333，……}
那么，如果有人指定了一个误差限，在这个序列里，我们总能确定一个项，保证在该项以后每一个近似值，其误差都不超过这个误差限。
这个误差限不管选得多么小，只要是正数，总能确定出这个项。
例如：
若误差限指定为0.01，那么第2项以后的近似值均满足精度要求；
若误差限指定为0.0001，那么第4项以后的近似值均满足精度要求；
…………
等等。
这里面的“精度要求”是什么？就是：|准确值-近似值|≤误差限。
上面的这些道理，我想，小学生只要数学合格，应该是能理解的吧？
（待续）

（续）
下面我们再看看，极限理论中的“序列极限ε-Μ模式”吧：
对于一个无穷序列{x(1)，x(2)，x(3)，……}, 如果存在实数A, 能满足：对于任意指定的正数ε, 都存在一个数Μ，使得只要n>Μ, |A - x(n) | ≤ε一定成立, 则称该无穷序列的极限是A。
这里说的ε，可以是任何正数，不管选得多么小，总能确定出Μ。
拿这段话，对比一下上一层楼：
把那里的： {0.3，0.33，0.333，……}，
换成这里的： {x(1)，x(2)，x(3)，……}；
把那里的：误差限，
换成这里的：正数ε；
把那里确定的一个项的序号，
换成这里的：一个数Μ；
把那里的：准确值，
换成这里的：实数A（即极限A）；
把那里的：|准确值-近似值|≤误差限，
换成这里的：|A - x(n)| ≤ε。
那么，这段话，与上一层楼叙述的，难道不是完全一致了吗？
所以我说，序列极限ε-Μ模式”本身并不深奥，没超出小学可以承受的难度。

直接发教材截图

（续）
如上，基本道理就这些。
但是还剩下一个枝节问题。就是：
从上面可以看到，不管按极限的概念，还是按初等数学中的“近似值”、“误差”、“准确值”之间的关系，“0.3……循环”=1/3，和“0.9……循环”=1，道理是一样的。
但是却有不少的朋友只承认“0.3……循环”=1/3，而不承认“0.9……循环”=1。
以致于有人专门发明了根据“0.3……循环”乘以3，来“证明”“0.9……循环”=1的办法来说服他们。
为什么呢？
就是因为，1除以3得到“0.3……循环”，在小学已经见到实例了。然而，小学笔算除法中，却不会出现“9循环”的实例，
其实，现在既然知道了小学建立的有关思想和后来知道的极限理论在逻辑关系的层次上完全一致，那么，这个问题就应该不是问题了。
小学笔算除法中没有出现“9循环”的实例，现在却有人提起“9循环”来，只不过说明：10楼所述的极限理论，适用条件比3楼所述的小学笔算更宽，完全可以覆盖了“9循环”的情况而已。
所以，那种通过“0.9……循环” = “0.3……循环”×3，来“证明”=1的办法，对于只具有小学的有关思想却不知道极限理论的人，或许还有点意义。而对于知道极限理论的人，就是一个“正确的废话”了。
除了如上的直接解释以外，这个问题，还可以换个角度来解释。如下：
假如把小学笔算除法的规则略改动（放宽）一点，就可以出现“9循环”，而改动后其数学道理上并无错误。特别是仍然完全符合上文的所有讨论。
具体规则改动说明如下：
笔算除法每一步试商，本来要求该步的相对余数＜除数。
这里“相对余数”一语，指按这一步的试商算出的余数，与这一步试商的单位之比。
例如，百分位上的试商后所得余数为0.21，我们就说这一步相对余数是21。要求它小于除数。如果大于除数则需要加大试商然后重算。
按这种要求，不会出现“9循环”。
现在把这个要求放宽，原来要求的“相对余数＜除数”，放宽为：“相对余数≤除数”，允许出现“＝”，即可。
这样改后，凡是原来会得到有限小数（或整数）结果的，就有了两种可能的结果形式。
按原来，除到某一步相对余数为零，就结束了，得到有限小数。
而放宽后，允许将最后一个试商减少1，于是会得到一个等于除数的相对余数。如此继续，后面就是“9循环”了。
而这两种结果形式，按上面的概念，其值是相等的。

很多人以为，0.99，是0.9变的。

再说明一点。
关于无限小数的值定义采用极限概念的由来，
我上面已经说过了：
直接把小学算术中就已经建立的概念搬过来，天然就可以满足高等数学的序列极限的“ε-Μ模式”定义了。因此无限小数的值，就是其近似值无穷序列的极限。
据我读过的教材，有的就将此称作无限小数值的定义，也有的不说这话，而是直接把循环小数当做讲完序列的极限之后的一个例题，在例题中才解释为什么无限小数的值就是序列的极限。
退一步，就算它不讲这个例题，而是直接把这个题当课外题或考试题，要求学生自己能想到无限小数的值就是序列的极限，也不算过分吧？
但现在流行的是哪个教材我不清楚，也没时间去查了。
如果有朋友非要我拿出教材里有“无限小数的值定义采用极限概念”字样原话的证据来不可，否则就认定这个定义不是前人提出的，而是我擅自发明的……？
那我只能呵呵了。

我现在没有时间去找教材当证据，但是我偶然在网上看到了几个间接证据，
至少可以证明本文的说法已经是现在教材界的共识，并非“我擅自发明”。
列于下：
(1) 有小学数学的教学参考资料上，讲到循环小数、无限小数时，在“教学目标”中有：“培养数学的极限思想”的提法。显然这就是说，将来在讲到极限理论时，会联系到小学数学这部分的思想。如青岛版小学数学教学参考《循环小数有限小数无限小数》。
(2) 网上其它介绍极限理论的文章中，也有把无限小数当做讲序列极限的定义后的一个例题的。例如9楼层内@北大6215 兄介绍的那个知乎的文章。

@古往今来为宙乎 先生：
你扯了那么多皮，饶了一大圈，到最后又问：
【无限小数0.999...的定义，就是有限小数序列{0.9，0.99，0.999，...}的“极限”！！！！！】——你怎么把一堆有限小数和无限小数0.999....扯上关系的？
请问你到这个楼里来是干什么，我写的整整一大篇话您一句都没有看么？
近似值序列的极限，就等于准确值，凭什么说“一堆近似值序列”，和准确值，就没有关系？
上面3楼，1/3的近似值，0.3,0.33,0.333，……和准确值1/3，是怎么扯上关系的？
你把上面的各层楼，不要装瞎子，真的看一看再问，行不行？

【说明】
各位：顶楼已经预先说好，本楼不希望出现该楼顶楼所列的三类无益的回复。
特别是某些属于与学术无关的人身攻击性的语言的回复帖，
我想，即使出于保护该发帖人的形象，这种帖子也不宜保留。
我已经将其删掉。
还有一些无理由地反复重复前面已被清楚地批驳过的荒谬论断的帖子，
我原想，假如不是故意，而只是一时没考虑清楚，尚有保留进一步讨论的必要；
但是，现在看来，确有一些明显的不是无意，而就是故意搅事的。
贴吧的读者并非只有某老兄一个人，
因此，为了保持本楼的板面的可阅读性，照顾大多数正常读者，
对于这类故意搅事的回复，也考虑删帖。
前面出于考虑是无意还是故意，放得比较宽。现在开始不再宽了，望原谅。
所有删掉的帖子，均在回收站中。如果发帖人觉得还有用，可以把它复制到原楼《“古往今来为宙乎”兄的推理错在何处》中。

【原14楼不明原因丢失，现重发于下】
（续12楼）
上面所说的“小学笔算除法的规则略改动（放宽）” ，见下面图示意。图中左右是放宽后允许的两种选择。
数学原理上，放宽后的算法规则与原来的唯一差别，就是相当于前面3楼中的“误差小于0.1”、“误差小于0.01”、……等等中，“小于”改成了“小于或等于”。
虽宽了一点，但仍然满足“误差不超过误差限”，所以仍然正确。

古往今来为宙乎玩不起了全自删了

支持郝立忠