先大概列个科普顺序吧，确实不太好科普，有可能最后会令大家失望，我尽力
对称性——守恒量——局域不变性——Yang-Mills theory及其物理贡献——待补充

前言（这层是给有场论基础的8u总结的）
最开始讲higgs机制的时候都从复标量场讲起，那个拉氏量的设计之初就是为了满足U（1）对称性的。而之后我们研究不同的相互作用，就是要让拉氏量满足不同的对称性。但一开始人们只能弄出QED，因为U（1）是个交换群，规范变换可以直接抄电动力学的。但当人们想写出满足SU（2）的拉氏量时，发现比较困难，因为这是个非交换群，没法类比电动力学的拉氏量。这样就只能止步于QED。
Yang-Mills theory其实就是解决了非交换李群的问题，修改了电动力学里的Fuv，修改之后就是镇楼图里的那个Guv。这个操作不光可以写出SU（2）的拉氏量，甚至直接适用于任何非交换群。这样人们就可以尝试描述其他相互作用了。

1. 对称性
我们都知道有些图形是对称的，有些图形不是。一个等腰三角形，我们说它是“对称的”，其实这话说得不够完整，完整的描述是: 这个等腰三角形沿着y轴翻折对称。换句话说，将这个图形沿着y轴翻折之后，图形保持不变。

再举一个例子。中心对称图形：将图形沿着一个点旋转180度，图形保持不变。
比如下图就是一个中心对称图形，但它不是一个沿y轴翻折对称的图形。

所以当我们说一个图形是对称的，我们其实要指明它到底满足什么样的对称性，是旋转180度对称，还是沿y轴翻折对称，还是沿y=x这条线翻折对称，等等。而对称性都有一个特点，就是经过某种变换之后，图形保持不变。
因此，我们说当一个图形在xx变换下保持不变，那么这个图形就满足xx对称性。例如一个圆满足旋转对称性，因为无论旋转多少度，它都保持不变。

单单只是形状上的对称还不太够，我们在解决物理问题的时候还要考虑物理量的对称。
例如下图的一个十字圆盘，如果只考虑形状，那么他的对称性就是旋转90度对称。但如果考虑1、3象限和2、4象限的密度，这个圆盘的就只能是旋转180度对称。

所以在物理学中，对一个东西进行xx变换之后，这个东西的各个物理量保持不变，它就那么满足了xx对称性。例如这个圆盘就不满足旋转90度对称性，因为转了90度之后，质量分布变了。这里的物理量不一定是质量，可以是电荷，速度，电场，磁化率，能量，等等。

我们研究的对象不一定是一个东西，可能是多个东西，多个物体，或者是整个宇宙。所以谈论对称性时，一般都说某个系统满足xx对称性。
研究的内容是也不局限于质量，电荷；而是所有物理规律。
因此我们再对“对称性”进行最后一次拓展：
对一个系统做了xx变换后，物理规律(运动方程)没有发生改变，那么该系统满足xx对称性。

举个例子，物理学有个公认的假设：宇宙中的物理规律不能随空间变化。
例如太阳系中的行星之间引力都是GMm/r^2，你到了其他星系，那里的行星之间的引力也得是GMm/r^2，他不可能变成GMm*r。物理规律应当适用于任何地点，而不是随着地点的变化而变化的。
同理，我们还假设：物理规律不能随时间变化。今天我们测得引力是GMm/r^2，明天测到的引力也得是GMm/r^2，它不可能变成GMm/r^3。宇宙随着时间演化，物理规律是不能变的。(运动方程是不能变的）
什么是运动方程？牛顿力学的运动方程是F=ma。量子力学的运动方程是薛定谔方程。相对论的运动方程是引力场方程。量子场论的运动方程是各种拉氏量推出来的欧拉拉格朗日方程。

今天先更到这吧，前期内容对物理专业的8u来说可能太平淡了，对称性、诺特定理、守恒量。不过到了局域规范对称那里会比较精彩。

2. 守恒量
楼上说的两个假设分别叫做空间平移对称性 和 时间平移对称性。也就是我们假设宇宙至少是满足这两种对称性的。
下面我们讲一个重要的定理----诺特定理：每一种对称性，都可以推出一种守恒量。
举个例子：我们都知道动量守恒，但高中老师好像没说过为什么动量守恒这个其实就出自诺特定理，空间平移对称性推出来的守恒量，我们给他起了个名字，就叫动量。所以只要宇宙满足空间平移对称性，那么动量就必须是守恒的。
注意，这是一个定理，不是定律。严格推导出来的结论，我们叫定理(theorem)。物理理论的前提假设，我们一般叫定律。定律随时都有可能被推翻，但定理不会。如果你问这个定理是怎么得来的，我会把推导过程摆出来。但如果你问这个定律是怎么得来的，我只能说这是通过实验猜出来的东西，没有为什么。
如果有一天某个实验发现，一个系统的mv不守恒了，那么我们就要修改动量的表达式（改写当前理论的某些假设），从而保证它依旧是守恒的。
同理，能量守恒就是从时间平移对称性推出的。

这里插一楼题外话
定律一般是指一个理论的基本假设。比如高中学的牛顿三定律，这三个就是牛顿力学的基本假设，通过很多实验得到的猜想。动量守恒本来也可以从牛顿三定律推出来，估计有的高中老师会说推导过程：
比如两个小球迎面相撞，然后弹开。我们是可以通过牛顿二、三定律证明总的mv是不变的。
因为牛三，相撞过程的受力：F1=-F2
两边同时对t积分：∫ F1 dt=-∫ F2 dt
又因为牛二，F=ma：m1*Δv1=-m2*Δv2
所以m1*Δv1+m2*Δv2=Δp1+Δp2=0
正常来讲空间平移对称性是一个多余的假设，只需要牛顿的三个假设就可以了。
但如果牛顿第三定律错了呢

总而言之；动量、能量，这种守恒量才是最根本的物理规律，因为它对应的假设是空间、时间平移对称性。
而高中除了动量守恒、能量守恒，还学了一个电荷守恒，电荷对应的是对称性叫“U(1)规范对称性”。
别忘了：“对一个系统做了xx变换后，运动方程没变，那么该系统满足xx对称性。”
而U(1)对称性的变换，其实就是对系统中每个粒子(波函数)都乘上一个复数exp(iθ)。我们会发现运动方程并没有发生改变。
例如薛定谔方程：我们把phi变成phi’之后，发现还会回到原来的方程。

关于守恒量就科普到这吧。明天再说麦克斯韦方程和U(1)对称性的关系（局域规范对称）

继续昨天的U(1)对称性：对系统乘一个exp(iθ)，方程没有改变。
举一个不满足U(1)对称性的例子：
考虑微分方程 y(t)^2=y'(t)，这里y(t)是一个随时间变化的物理量。
我们对y做一个U(1)变换之后，方程和之前不一样了，所以这个方程不满足U(1)对称性

再举一个满足U(1)对称性的例子：方程在变换前后都是一样的

重新补一下这是一个满足U(1)对称性的例子：y是随空间x变化的量