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6712 Nice But Easy No.34
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△ABC中,D,E,F分别为BC,CA,AB中点,AD分别再次交⊙(ABE),⊙(ACF)于J,K,求证:∠AKE=∠AJF。
火锅油先生
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三角法+面积秒杀
仅此而已w
知名人士
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楼主讲讲做法呗
假日宴会
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简证
Brkhu
活跃吧友
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作 EP⊥AD 于 P , FQ⊥AD 于 Q 。显然 EP=FQ ,于是只需证 KP=JQ ,即 JK=PQ 。
记 P1(X) 为 X 到 ⊙(ABE) 的圆幂, P2(X) 为 X 到 ⊙(ACF) 的圆幂,则根据
https://zhuanlan.zhihu.com/p/529433629
中的结论(线性幂差),知 P2(X)-P1(X) 是线性的,所以
DA·JK
=DA·DK-DA·DJ
=P2(D)-P1(D)
=1/2[P2(B)-P1(B)+P2(C)-P1(C)]
=1/2[1/2AB²-0+0-1/2AC²]
=1/4(AB²-AC²)
=AF²-AE²
=AQ²-AP²
=(AQ+AP)(AQ-AP)
=AD·PQ
INSANE
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活跃吧友
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易证KFGD共圆,DHEL共圆,DK=DL即可。
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