以下是戴德金分割法证明:
0.999…的戴德金分割
A={x∈Q|x<0.999…}，
B={x∈Q|x≥0.999…}。
显然A∩B=∅，A∪B=Q。
1的戴德金分割
M={x∈Q|x<1}，
N={x∈Q|x≥1}。
显然M∩N=∅，M∪N=Q。
证明两种分割相等
要想证明分割一样，就要证明集合A=M。
（1）证A⊂M；
设a∈A，∴a<0.999…，
∴a<1，∴a∈M。
（2）证M⊂A；
设m∈M，∴m<1。
因为m是有理数，∴m=p/q<1,
∴p<q, 1-m=1-p/q=(q-p)/q,
∵p<q，∴q-p≥1，
∴(q-p)/q≥1/q。
总是存在正整数n，使得
10n>q,
∴1/ 10n <1/q,
∴1-m>1/ 10n,
∴m<1- 1/ 10n=0.99…9(n个9)，
∵0.99…9(n个9)<0.999…,
∴m<0.999…,
∴m∈A。
因此我们得到A=M。这就说明两个分割是一样的。故0.9的循环等于1。

即使你说M包含A，A真包含于M，你也不能说M＝A。但此时从逻辑说，0.9999...已经可以＝1了。因为它本身被A所排斥的。0.9999...是归属于B的。

造成这种是真子集还是子集的混乱不清的局面，其实是因为0.999.....本身无法准确通过戴德金分割法的证明给与。
因为，按照严谨的逻辑思维，0.9999....在未证明之前只能作为一个未知的存在
我们能从0.9999...身上搜寻到的唯一可以确定的东西就是A⊂M。

接下来我要新开一贴推倒希尔伯特大酒店。确立我对无限概念的正确看法。

如果有人还没看清戴德金分割法的诡辩论特征。我举以下一个例来说明。比方说:
有两个集合A，M。事先不知道。
证明者说你们来从M摸出一个数，摸出的数果然都被证明者从A中摸出了一个数和一个大于它数。证明者就说M是A的真子集。
我说这种逻辑思维是有问题的，因为我同样可以再从M中摸出一个相同数，同时再从M中摸出另一个数。
那证明者会诡辩到，既然同样可以摸出数，那这件事情是不是说明A=M？
我还是会说你错了，因为还有大量的数未摸出。
这时候，证明者会诡辩到，难道你就不能想象吗？
我会告诉证明者，你说想象，该怎么想，我想象一个1.2出来？
这时候证明者终于漏出诡辩者的本性，它说你看我给你一个边界，这俩边界一样。
这时候我会说，你这就是诡辩，之前的摸数举例，只是一个幌子，当你给出边界的时候用以标定边界的元素就必须被定义成相同的。这和你之前的证明没有半毛钱关系。
实际上0.9999...是不是＝1，全靠定义而来。
但现在的问题是，你总不能强制性定义它俩相等吧，你不是要证明吗？证明何在呢？

所以，跨越戴德金分割法的思维误区，我们才真真知道，这个0.999.....只是一个期望，一个期待，一个无限的进行。

http://tieba.baidu.com/p/7786828321?share=9105&fr=sharewise&see_lz=0&share_from=post&sfc=copy&client_type=2&client_version=12.22.1.0&st=1649239201&is_video=false&unique=6D892BF3D4083D053E935949D060441E

证明者说总是存在一个n使得1/10^n＜1/q。
这就是一个诡辩。我承认你说得对，就好像你已经通过稠密性把所有情况考虑进来了一样。
但是，我还是要说你错了，假如说总有一个m＜ 1-1/10^n=0.999..n个9。那么我问你这种单一的小于关系是否可以保持到最后，否则你的举例说明什么了？
假如保持到最后就是0.999...＞1。或者你说一直保持下去，那必然最后一个元素同样有这样的性质否则你这个说明子集合的说法意义何在？
那些说我们只需要考虑单一单向关系的人真的逻辑思维不强。
那怪戴德金随便就给忽悠了。
当证明者给出m＜1-1/10^n的时候，我同样可以根据反向定义给出m＞1-1/10^n，或者m＝1-1/10^n。这三者存在并没有优劣轻重之分，而是三个同时存在的可能。

只要是在给定一个区域内任何一个除开边界的元素都有这三种情况。但是据此并不能作为谁是谁真子集的判定。

假如说，证明者说你看这就是此类公理定义，我会说打住，我已经根据公理定义直接看出了。你后续的一堆东西不过是和公理无关的戴德金分割的某种分析。
其中的1和0.999...可以替换成4/2，根号2^2。π，3.141421....等等组合。
然而，如果有某某sb说它要用戴德金分割证明...在看完你的戴德金分割证明的种种叙述后，我仍然有疑惑，我仍然不觉得你证明了什么，这正是戴德金分割法证明的诡辩论特点。

有些人还真是逻辑差，你看到一个特性，你就说是一种共性，实际上是三种特性同时存在的。你凭什么只抽取一种特性作为共性？
总能找到，和所有情况都是是不能画等号的。
然后，你最后看一个集合是不是另一个集合的真子集合的时候，着眼点是看的边界点和排除点，是看的一个个可比较东西。而和实数稠密性本身无关。
但是，你不能本末倒置的说你证明了某某点，某某边界值。这是一个先因后果的逻辑问题。

我没有啊，我只是说你说的这种找法所确定的共性，并不是真的，某种特性并不能作为结果来乱用。我也可以说0.999...你找的任意一个a＝0.99..有限个9都是小于1的，所以根据此共性，0.99....＜1？
你说在这个集合≤0.99..里哪一个元素不是＜1的。
那有此得出结论根据此种单一共性0.999..＜1？

我回的贴111楼突然不见了？懒得继续码字了。打住了，鲜果你理解的是错的。

有些人，包括有些老师在教授学生的时候说，根据这种子集合关系，也就是这种找到的单向大于的关系说0.999..＞1，然后，它推理说，所以说0.999...∉A，所以只能在B和N内？
我惊讶了，这些人的自我欺骗脑洞不是一般的大。
你从单向关系推出0.999...＞1这个矛盾，就说明A和M不能建立起子集合的关系，在没证明前，我们甚至不能说它俩是否一定存在某种关系。既然A和M的关系无法确立成互为子集合，那么开始单从形式上判断出的关系就倒退成A⊆M。你要始终坚持一个原则，就是0.999...未确定。
这时候我们再看0.999..的归属问题，你能发现N和B什么关系吗？
它的单向关系推出矛盾本身就证明了，这种子集合关系是不存在的。
对于这个未知未被证明的0.999...假如真的就是＜1。在A⊆M这个关系中也是成立的。
但是，当你假设它＜1的时候同样会陷入一个错误，也就是你必须要求我给与你一个与1相减的明确差值。否则我的假设同样会失效。
所以，最后我们只能认同一件事，0.999...不能被证明。