不会了啊….

口水话问题，先写也f趋于无穷的定义（这种扩张定义一般书里不一定讲，你这题对应的书里应该有，要不然没定义），定义取否命题，用反证法，假设不成立。可以从f*f往无穷的定义里导出矛盾，要写几句口水话（不同风格来写，写法也很不统一，没标准答案）

小吧指出之前的否命题说法有问题，也的确是我想当然了，之后来修正一下之前的证明。
定义是对于任意的M>0，总存在K>0，使得当x>K时，有f(x)>M，称在x→+∞时，f(x)→+∞。
它的否命题是，如果以上事实——在x→+∞时，f(x)→+∞——不成立，则有：对于任意的K>0，总存在M>0，使得存在一个x>K，有f(x)<=M。

之前频繁被度娘卡帖子（唉
第一步，证明f(x)极限存在（可取为无穷）。
介值性：无论极限存不存在，上下极限肯定存在，设在无穷处，f(x)的下极限为a，上极限为b。由于连续函数的介值性，注意到对于开区间(a,b)内任意的值m，对于任意的K，f(x)都能在邻域x>K上取到m。（如果存在某个K，使得x>K时，无法取到某(a,b)内数值m，由连续函数的介值性，f(x)在x>K时，只能取在f(x)>m上侧或f(x)<m下侧，也就不可能得到另一侧极限）。
如果a≠b（可取到无穷），记N={x∈[a,b] | |f(x)|<=n}，[a,b]=∪N，对所有自然数n取并。
注意到集合N一定是有限集，如果N是无限集，则可以取到一列非平凡收敛点列(x_n)使得x_n收敛到某一个m【这由BW定理保证】，f(x_n)也将收敛到某个有界的f(m)上。由于上述介值性，对[a,b]中的任意数，总是可以对应取得一列y_n使得x_n=f(y_n)，且使得y_n->∞。这样f*f(y_n)=f(x_n)，作为f(f(y))的收敛子列，f*f(y_n)就会收敛到f(m)有界，与条件矛盾。
由此可见，只要a≠b，[a,b]就可以写为一列有限集的可列并（对所有自然数n取并），而[a,b]本身是不可列集，因此矛盾，可见必有a=b，上述极限一定存在，有限或者无穷。
第二步，证明极限a=b=m必为无穷。
反证法，假设m有限。
定设M={x∈R | f(x)=m}，先证明对任意的m，M集合有界。
若M无界，则一定存在至少可列的非平凡点列(x_n)，满足f(x_n)=m，且x_n->∞。同样这样的f*f(x_n)作为f*f(x)的收敛子列就会收敛到某一个有限的f(m)上，矛盾。
可见M一定有界，则对于任意的m，存在上界K，使所有x>K都必需满足f(x)≠m。又由于连续函数的介值性，这样的f(x)在x>K时，只能取得f(x)>m的上侧，或者f(x)<m的下侧，否则一定存在一个在M之外的x*使得f(x*)=m。
如果对应+∞，只能取得f(x)>m的上侧则原命题直接由定义得证。不失一般性我们只看f(x)<m的下侧【其实以下矛盾是显然的】。-∞的情况则同理。
那么对于这样的x>K，一定可以取得f(x)<y_n<m，不妨设M_n={x∈R | f(x)=y_n}，同理M_n也为有界集，且可以取到其上确界。今x_n=sup M_n，由可以取f(x_n)<y_n+1<m，则(x_n)(y_n)均为单调有上界点列，且f(x_n)=y_n。因为单调有界点列必有极限，故
lim f*f(x_n)=lim f(y_n)= f(m*)，m*<=m，
由于f是连续函数，可知作为f*f(x)的收敛子列，将收敛到一个有限的f(m*)上，因此矛盾，m必为无穷。
修正了几次，这个版本应该是比较清楚的了。