这个凭感觉吧。

当c=1时，命题显然成立。
当c>1时。
根据题设只有三种情况：
1.ab|c，
2.ab|c*c-c+1，
3.a|c且b|c*c-c+1.
先看1。可以有：a+b≥c*c+1≥a*b*a*b+1>a*b*a*b。得到1/a+1/b>ab。
只能是a=1且b=1。即c=1。与c>1矛盾。
再看2。可以有：ab ≤ c*c-c+1 ≤ a+b-c。
得到：1 ≤ 1/a+1/b-c/(ab) < 1/a+1/b-1/(ab)。
若a>1,即：1/a ≤ 1/2 。即：1<1/a+1/b-1/(ab) ≤ 1/2+1/b(1-1/a)。
b只能等于1。而这时，a|c*c-c+1且a|c,得到a|1。
a也只能等于1。与a>1矛盾。b>1情况类似。所以只能a=1,b=1,c=1.
与c>1矛盾。
再看3。可以得到，c=aq，c*c-c+1=bk。两式相加，
得到c*c+1=aq+bk。因为c*c+1|a+b，所以aq+bk≤a+b。
而a，b，q，k都是大于等于1的。所以只能是q=1，k=1。
所以：c=a,b=c*c-c+1。a，b的位置对称，所以另一种情况
c=b,a=c*c-c+1。也成立。