关于自然数集N、素数集P，有基本关系(不是全部)：
n(i) ∈N ⊆N={1、2、3、......n}；.......................................................................(1)
p(i) ∈P ⊆N={2、3、5、.....p(ω).......p(u)}；.....................................................(2)
φ ≠P ⊆N；.........................................................................................................(3)
关于 P ≠ φ 问题，前人已证：
a，用爱氏筛法，筛取"素"元素；.......................................................................(4)
b，用容斥公式求得素数集P的基数的精确值：π(n) ...........................................(5)
c，用对数函数表述：π(n) ≈ n/㏑n，.................................................................(6)
limπ(n)=∞..........................................................................................................(7)
n→∞
上述内容，是前人的经典成就。可以说：非常完备、完美......。学界已公认。可称为"西方人"的公式。
对此，东方人一一花齐空一一杨功一问：
1，"素性"为什么只能用爱氏筛法求得？
2，客斥公式中为什么可以用那么多"取整"操作？
3，公式：π(n) ≈ n/㏑n有下限值吗？容斥公式有下限值吗？应不应该思考它们的有"数学构造"模型的下限函数？
4，允许对爱氏筛法做出一定的(不破坏、不排斥、不悖于、相容于)的"分析、改造、拓展、拓深、推广"吗？
据此，本人有：爱氏筛法的”拓深--推广--应用......”。专论爱氏筛法。是本人的独创，是"东方人的公式"。

复制hajungong57141的2020-02-11 14:35旧贴。此贴中充满了"歪曲，篡改、讥讽、......"，其中用"激将法"将我的军：多么简单的【对爱氏筛法进行了推广、拓展......】的"创新"啊！
因此，逼我不得不发言......。写了"爱氏筛法的”拓深--推广--应用......”，以就教方家。
<花齐空的【对爱氏筛法进行了推广、拓展......】>
hajungong57141，N次函数14

回复，1楼，2020-02-11 14:35

<爱氏筛法的”拓深--推广--应用......”>
如题，想就相关问题，谈点个观点。欢迎一切正派、坦诚、善良、严肃、认真、负责、......，关心涉此类问题的朋友光临。提出问题，提出质嶷，平等、友好、科学地讨论问题......。谢绝“窜改、歪曲、恶攻、贴身咬、一言堂、滥贴、无理的无穷纠缠......”，本着互相尊重、坦诚相见、认理服理、认错改错、......耐心细致讲解、求同存异、真诚文明交流思想认识，以求共同构筑通向------颠峰的艰险通道。
彼此互不欺（压、谝、诈、），彼此互不恶猜，彼此互不戏弄，......。
难免要批判一些不良现象、错误观点、某些人......。有异议的人，欢迎到此以“理”相对抗......。
1楼
2020-03-24 13:48
花齐空把其“扔余项”说成是“埃氏筛法的改进、发展”，
只看楼主，收藏，回复，hajungong57141
超过了数学家，“证明了1+1”。很好笑。
众所周知数学家们艰辛努力“埃氏筛法的改进、发展”近百年才证明了“1+2”。
回复，1楼，2020-02-10 11:50，hajungong57141
现在试着对爱氏筛法做点再思考------拓深--推广--改进--发展--应用.。望得到朋友们指导。
一，关干爱氏筛法的具体内容等相关知识，在此不再重复。
二，先写几个平凡的关系式、文字、符号及相关概念......。
足够大，有限自然数集N：
N=｛1、2=p（1）、3=p（2）、4、...p（ω）、...[√ n]、.[√ n]+1、...p(u)、...n｝.......（1）
区间：[1，n]=[1，.[√ n]]∪[[√ n]+1，n]，.......................................................................(2)
其中.p(ω)为[1，.[√ n]]里最大素数。(ω)为素数.p(ω)的序号。
p(u)为[1，n]里最大素数。（u）为素数p(u)的序号。故u=π(n)。
故有素数子集：P(1、ω）={2、3、5、....p（ω）}，其中共ω个素元素。.......................(3)
P(1、u）={2、3、5、....p(ω)...p(u)}，其中共u=π(n)个素元素。..........................(4)
P(1、ω）⊆P(1、u）⊆{1，n}，.....................................................................................(5)
{1，[√ n]}⊆{1，n}。.......................................................................................................(6)
3楼
2020-03-25 17:35
对爱氏筛法再思考----分析、解剖......。将其记为（称为）o（爱），以便好称呼。
一，o（爱）它有工具，即爱氏筛组：P(1、ω）
P(1、ω）={2、3、5、....p（ω）}，其中共ω个素元素。......................................（7）
当子筛p（i）∈P(1、ω）。在现代数学中称为素模m（i），更可称为子尺l（i），即：
p（i）=m（i）=l（i），数值即它们的大小。......................................................（7.1）
同时：P(1、ω）=M(1、ω）=L(1、ω），分别称：筛组、模组、尺组。
此时，把ω称为：所使用的子筛个数、子模个数、子尺个数，统一简计为h。但概念、定义、使用方法等不同......。
故：h=ω=h（筛）=h（模）=h（尺）。.............................................................（7.2）
二，在组合数学中，P(1、ω）是一个”不失一般意义的、特殊、具体的”子集。故它可以组合形式再组合为有限个（更小的）互不相同的子筛组（在组合理论中有讲）。从数理上、逻辑上、在一般意义上、相对不同具体问题而言，这些互不相同的子筛组的子筛个数应为：
ω ≥ h≥1。...........................................................................................................（8）
唯只在o（爱）中，h≡ω。..................................................................................（8.1)
这是对o（爱）中子筛个数h做“一般意义的、不排斥o（爱）”的拓展。
4楼
2020-03-26 14:00
接4楼：
三，o（爱）它有目的：从N中筛取(留存)P(1、u）。因此，N是o（爱）的研究对象。
思考：从数理逻辑上讲，从一般意义上讲，只允许取出"合数、涉模m(i)的"零剩余类”‘’吗？
答案：可以是任一个合逻辑的某些同余类。...............................................................(9)
唯只在o（爱）中，只允许取出"合数、涉模m(i)的"零剩余类”。
四，o（爱）对N筛选起点是元素n(1)=1。
思考：从数理逻辑上讲，从一般意义上讲，只允许"从元素n(1)=1开始依次"筛选、划分、鉴定、尺测......"每一个元素n(i)吗？而不允许自∀n(k)∈N吗？
答案是：允许为∀n(k)∈N。此n(k)称为起筛点n(k)。.................................................(10)
唯只在o（爱）中，只允许起筛点(起筛点)n(k)=1∈N。
五，把N按常规记为向右递增形式：
N={1、2、3、......n}
在o（爱）中自n(k)=1向右依次"筛选、划分、鉴定、......"每一个元素n(i)，称"筛选，划分、鉴定、尺测"方向为同向，记为"ψ同"，反之记为"ψ异"。
思考，"筛选，划分、鉴定、尺测"方向只允许为同向"ψ同"吗？
答案是：逻辑上，"ψ同"、"ψ异"、"ψ同、异并"都许可.................................................(11)
唯只在o（爱）中，只允许起筛"筛选，划分、鉴定、尺测"方向只允许为同向"ψ同"
5楼
2020-03-27 14:20

接5楼
六，一般地，任一子筛m(i)=p（i）单独作用的取出比为1/p（i），
一般的子筛单独作用的留存比：α(i)=（1-1/p（i））...............................................(12)
当h个子筛共同进行筛操作时，总留存比：
A（总留比）= ∏α(i) =∏（1-1/p（i））=∏(一)(此为简记).(共计h个乘法因子).........(13)
利用（13）式，借乘法手段可以近似地“看看”A（总留比）的规模。此，只是一般意义的、纯形式地、借用乘法手段“看看”A（总留比）的规模。最终，我们并不完全依靠此（13）式解决任何问题。
o（爱）对N筛选摔掉相对模m(i)=p（i）的"零剩余类”。每一个m(i)=p（i）的留存比为：
m(1)=p（1）=2，取出比1/2，留存比：α（1）=（1-1/2）；
m(2)=p（2）=3，取出比1/3，留存比：α（2）=（1-1/3）；
m(3)=p（3）=5，取出比1/5，留存比：α（3）=（1-1/5）；
........
m(ω)=p（3ω）=p（ω），取出比1/p（ω），留存比：α（ω）=（1-1/p（ω））。
故爱氏的子筛留存比序列为：（1-1/2）、（1-1/3）、（1-1/5）......（1-1/p（ω））。
总留存比：
Α（爱总留比）= α（1）*α（2）*α（3）...*α（ω）
=（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）...*（1-1/p（ω））= ∏(一)= ∏(爱)(此为简记)........(14)
因此，唯只在o（爱）中，h=ω(必须)。
说明：此处
∏(一)= ∏(爱)=Α（爱总留比）= α（1）*α（2）*α（3）...*α（ω）
=（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）...*（1-1/p（ω））.................................................(15)
此处是纯形式地"借"连乘式，概念地表述总留存比Α（爱总留比）。对于爱氏筛法而言，若要用它求素数个数，必有误差Δ(误差)，其中必有衍生物------余项Δ(余项)。即：
π(n)=n（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）...*（1-1/p（ω））+Δ(误差)...........................(16)
π(n)=n（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）...*（1-1/p（ω））-Δ(余项)+Δ(修正、补充)
在经典理论中，求π(n)有容斥公式。容斥公式是从组合理论等方面通过严密论证而得。分析容斥公式的精细构造，它实质上是连乘式：
n ∏(一)=n（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）...*（1-1/p（ω））....................................(17)
的展开，各项取整，再补上Δ(修正、补充)的结果。这充分说明" ∏(一)"具有潜在的重要且深刻的数学上的理论价值。......。
当然，我们现在不使用.(16)、(17)求π(n)。
回复，6楼，2020-04-07 10:19
接6楼。
回观1---17式，做点简明概括：
做为一个“一般意义”的数学研究活动，首先要有研究对象、工具、使用方法、某些规定、概念、定义、目的、......等。对于“一般意义的一筛操作方案”应具备：
1，研究对象：自然数列N，
2，由子筛p（i）组成的筛组：P（i）。一般地：p（i）∈P（i）⊆P(1、ω）；
3，筛组P（i）里子筛个数：h。一般地：ω ≥ h≥1；
4，每个子筛p（i）的使用次数：ε（i）。一般地：p（i）-1≥ε（i）≥0；
5，每个子筛p（i）的起筛点为：k。一般地，可以为∀k∈N；
6，每个子筛p（i）的起筛方向：ψ。一般地，记为："ψ同"、"ψ异"、"ψ同、异并"；
7，每个子筛p（i）的单独取出比为：1/p（i）；
8，单独留存比：α(i)=（1-1/p（i））；
9，当h个子筛共同作用时，共同、综合的总留存比：
A（总留比）= ∏α(i) =∏（1-1/p（i））=∏(一)(此为简记).(共计h个乘法因子)
（此，只是一般意义的、纯形式地、借用乘法手段“看看”A（总留比）的规模。最终，我们并不完全依靠此式解决任何问题。）
10，筛出什么？筛出：由给定命题内蕴涵所要取出的“无权元素n（无权i）”。
11，留存什么？留存：由给定命题内蕴涵所要留的“无有权元素n（有权i）”；
12，还允许有一定的补充、修正的余地......。
上述十二点，概称为“筛操作因素P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”。实际是一个广义的、复变的筛涵数。为了不与经典的筛涵数相混，故称为“筛操作因素：P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”。
当给定一组具体、确切、逻辑上自然许可的”P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”的值时，必形成一个“广义的、具体、确切、逻辑上自然许可的”筛操作方案0（i）”。
以o（i）作用于N，必有一个“具体、确切、逻辑上自然许可的结果o'（i）”。此o'（i）的内含里应包含：
1，留存的子集N（i），空不空？
2、留存的子集N（i）里的元素n（i留）的个数a（i留） 的近似函数：
a（i留） ≈x（近）=n∏α(i) =n∏(一)=n∏（1-1/p（i））；.(共计h个乘法因子)
3、留存的子集N（i）里的元素n（i留）的属性：（无权i）？（有权i）？
4、还有可供分析的余地......？
上述四点概称为“不失一般性的、具体、确切、逻辑上自然许可的的果o'（i）”。
综上全文，是对“数理逻辑上许可的、广义筛法”的抽象的一般论述。开拓了一个“新领域......”。
回复，7楼，2020-04-13 10:59

回复 花齐空 ::是啊！很多人以为自己找到了真经，不肯轻易示人！如果你得到的是真经，大可不必不敢示人。因为【真经】是不可能很容易被人认识、理解的。

续7楼
一，“筛操作因素：P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”实际是一个广义的、复变的筛涵数。当给定一组具体、确切、逻辑上自然许可的”P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”的值时，必形成一个“广义的、具体、确切、逻辑上自然许可的”筛操作方案0（i）”。故有：∀ ∃ ∈ ∂ ∛ ∜ ⊆
∀“筛操作因素：P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”→∃”筛操作方案0（i）”，简记：
∀”P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”→∃”0（i）”...........................................................（18）
二，以o（i）作用于N，必有一个“具体、确切、逻辑上自然许可的结果o'（i）”，故有：
∀”P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”→∃”0（i）”→∃”0’（i）..........................................（19）
综上全文，是对“数理逻辑上许可的、广义筛法”的抽象的一般论述。开拓了一个“新领域......”。
此，是一个“新领域......”。它是一个广义的复变函数，所有”0（i）”的集合（筛操作方案无素）将构成一个庞大的“方案类集O（？）”。（此处（？）表示待研问题很多）。故：
∀0（i） ∈ O（？）................................................................................................（20）
（此处“类"字取意：类似和可分类）
回复，8楼，2020-04-23 17:23
接8楼：
思考第(20式：∀0（i） ∈ O（？）。特别是：符号：O（？），它是一个庞大的广义的、逻辑上许的筛法方案类集。但，它决不是一个"混沌不开"的东西。它是一个可以分类、分层、分级......的方案类集，是可以分析、分解、细化、具体化、......研究的东西......。
思考：“筛操作因素：P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”实际是一个广义的、复变的筛涵数。此：P（i）、h、ε（i）、k、ψ都是变量。如此庞大、宽泛、广义的范畴，要弄清它，远远超出了我们的任务及本人智力、精力......。但，可以规定某些个变量，取值不太大，......，在初浅层次上，还是可以谈点初、浅层次上的东西还是可以的。
假定规定：1≥ε（i）≥0，至少有一个ε（i）=1，所有相关0（i）记为0（一，i），统称：一般意义的一次筛类方案元素。则必有：
∀0（一，i） ∈ O（一），
假定规定：2≥ε（i)1≥0，至少有一个ε（i）=2，所有相关0（i）记为0（二，i），统称：一般意义的二次筛类方案元素。则必有：
∀0（二，i） ∈ O（二），
......。
在逻辑上，必有：
1，∀0（一，i） ∈ O（一）
2、∀0（二，i） ∈ O（二）
3，∀0（三，i） ∈ O（三）
O（一）⊆O（二）⊆O（三）⊆......⊆O(？).............................................................(21)
回复，9楼，2020-04-30 13:29
接8楼：
思考第(20式：∀0（i） ∈ O（？）。特别是：符号：O(？)，它是一个庞大的广义的、逻辑上许的筛法方案类集。但，它决不是一个"混沌不开"的东西。它是一个可以分类、分层、分级......的方案类集，是可以分析、分解、细化、具体化、......研究的东西......。
思考：“筛操作因素：P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”实际是一个广义的、复变的筛涵数。此：P（i）、h、ε（i）、k、ψ都是变量。如此庞大、宽泛、广义的范畴，要弄清它，远远超出了我们的任务及本人智力、精力......。但，可以规定某些个变量，取值不太大，......，在初浅层次上，还是可以谈点初、浅层次上的东西还是可以的。
假定规定：1≥ε（i）≥0，至少有一个ε（i）=1，所有相关0（i）记为0（一，i），统称：一般意义的一次筛类方案元素。则必有：
∀0（一，i） ∈ O（一），
假定规定：2≥ε（i)1≥0，至少有一个ε（i）=2，所有相关0（i）记为0（二，i），统称：一般意义的二次筛类方案元素。则必有：
∀0（二，i） ∈ O（二），
......。
在逻辑上，必有：
1，∀0（一，i） ∈ O（一）
2、∀0（二，i） ∈ O（二）
3，∀0（三，i） ∈ O（三）
O（一）⊆O（二）⊆O（三）⊆......⊆O(？).............................................................(21)
回复，9楼，2020-04-30 13:29
接9楼现在再思考：
∀0（一，i） ∈ O（一）。当它的“筛操作因素：P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”为：
1，研究对象：自然数列N，
2，由子筛p（i）组成的筛组：P（i）。一般地：p（i）∈P（i）⊆P(1、ω）；
3，筛组P（i）里子筛个数：h。一般地：ω ≥ h≥1；
4，每个子筛p（i）的使用次数：1≥ε（i）≥0，至少有一个ε（i）=1；
5，每个子筛p（i）的起筛点为：k=1∈N；
6，每个子筛p（i）的起筛方向：ψ=ψ同；
7，每个子筛p（i）的单独取出比为：1/p（i）；
8，单独留存比：α(i)=（1-1/p（i））；
9，当h个子筛共同作用时，共同、综合的总留存比：
A（总留比）= ∏α(i) =∏（1-1/p（i））=∏(一)(此为简记).(共计h个乘法因子)
（此，只是一般意义的、纯形式地、借用乘法手段“看看”A（总留比）的规模。最终，我们并不完全依靠此式解决任何问题。）
10，筛出什么？筛出：由给定命题内蕴涵所要取出的“无权元素n（无权i）”。
11，留存什么？留存：由给定命题内蕴涵所要留的“无有权元素n（有权i）”；
12，还允许有一定的补充、修正的余地......。
将此1至12统称为“不失一般性的一筛操作方案元素”：o（一，i） ∈ O（一）.........（22）
显然： O（一）是一个庞大的“不失一般性的一筛操作方案元素”的类集。虽然它庞大，仍可分析其中”特殊的、具体的、不失一般性”的某些个别元素的“细节及结果”。至少可以找到：
留存最少的：o（一，i）=o（一，少）；................................................................（23）
留存最多的：o（一，i）=o（一，多）。................................................................（24）
欧拉函数：φ（n）..................................................................................................（25）
（待续）
回复，10楼，2020-07-04 18:59

接10楼
”留存最多的：o（一，i）=o（一，多）。”是何意？举例言。
当（22）中令：”2，由子筛p（i）组成的筛组：P（i）=p（1）=2”、“3，筛组P（i）里子筛个数：h=1”......。则留存最多。
例：n=100，对应的自然数列：
N=｛1、2、3、......100｝
中有多少个偶数a(y)？则可用o(一，i)=o(偶)。其中：”P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”为：
1，研究对象：自然数列N，n=100；2，由子筛p（i）组成的筛组：P（i）=p（1）=2；
3，筛组：P（i）里子筛个数：h=1；
4，子筛p（i）的使用次数：ε=1；
5，子筛p（i）的起筛点为：k=1∈N；
6，子筛p（i）的起筛方向：ψ=ψ同；
7，子筛p（i）的单独取出比为：1/p（i）=1//2；
8，单独留存比：α(i)=（1-1/2）=1/2
......
10，筛出什么？筛出：取出的“无权元素n（无权i）=奇数z(i)”；
11，留存什么？留存：所要留存的“无有权元素n（有权i）=偶元索y(i)”。
前1---11概称为："不失一般性的一筛剩中留存最多----留偶数"的一个"一筛方案元素：
o(一，i)=o(偶)"。或曰："不失一般性的一筛剩，非空，且最多......"
留存元素个数---偶数个数：a(留存偶数)=n*(1-1/2)=100*1/2=50。
此处讲："偶数个数：a(y)=n*(1-1/2)=100*1/2=50"是具体意义的个数。
（前11点）概记为.................................................................................................(26)
其实，从"一般意义"上讲，关系式：
a(留存)=n*(1-1/2)=100*1/2=50
是说：留存了50个自然数元素。只在满足(26)之后，方可言：
留下的"偶数个数：a(留存偶数)=n*(1-1/2)=100*1/2=50。"。
（说明：一，这些是随手写，必存很多缺点：二，这是在讲对爱氏筛的：思考、分析、拓展、推广、应用；三，相当一部分内容在大师们的筛函数内，但也有一些内容不在其内。......为了与之有别，我取名：筛方案元素o（i）。）
欢迎大家批判。请57141到此履职-----批判。
回复，11楼，2020-07-05 17:23
接11楼。查第（23）式
留存最少的：o（一，i）=o（一，少）”是何意？举例言。
当（22）式中令：
”2，由子筛p（i）组成的筛组：P（i）=P（1ω）=｛2、3、5、······p（ω）｝”
“3，筛组P（i）里子筛个数：h=ω”
......。
则留存（所剩）最少。
例：n=100，对应的自然数列：
N=｛1、2、3、......100｝
以o（一，少）作用于N，取出“e剩余类”（令：p（i）-1≥e≥0，此处e是指不失一般性的、某个具体的余r（i）=e）之后，
问：“非e剩余数”中所剩还有多少个a(e非)元素？
则可用o(一，i)=o（一，少）对其进行“数学操作”：
此时，筛因素：”P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”为：
1，研究对象：自然数列N，n=100；
2，由子筛p（i）组成的筛组：P（i）=p（1ω）=｛2、3、5、······p（ω）｝
3，筛组：P（i）里子筛个数：h=ω（个数最多）；
4，子筛p（i）的使用次数：ε=1；
5，子筛p（i）的起筛点为：k=1∈N；
6，子筛p（i）的起筛方向：ψ=ψ同；
7，子筛p（i）的单独取出比为：1/p（i）；
8，单独留存比：α(i)=（1-1/p（i）），......；
9，筛出什么？筛出：取出无权的“e剩余类”；
10，留存什么？留存：所要留存有权的“非e剩余类的交”。
前1---10概称为：
"不失一般性的一筛剩中留存最少的一个"一筛方案元素”：o（一，少）············（27）
或曰："不失一般性的一筛剩，非空，······”，所剩最少。
留存的有权的“非e剩余类”元素个数-：
a(“非e剩余类”元素个数)≈100*（(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）·····················（28）
此时，从"一般意义"上讲，关系式（28）是一筛操作的结果o’（一，i）里所剩------留存的“非空”的元素”，是一般意义的自然数元素个数，近似意义的乘法结果，······。
只在满足(27)之后，方可言：是“有权的“非e剩余类”元素”。
因为筛组P（i）里子筛个数：h=ω，达最多，所剩必”最少”。
o’（一，i）=o’（一，少）何意？（待论）························································（29）
······。
回复，14楼，2020-08-07 18:29
接14楼。复制：
”留存的有权的“非e剩余类”元素个数-：
a(“非e剩余类”元素个数)≈100*（(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）·····················（28）
此时，从"一般意义"上讲，关系式（28）是一筛操作的结果o’（一，i）里所剩------留存的“非空”的元素”，是一般意义的自然数元素个数，近似意义的乘法结果，······。
只在满足(27)之后，方可言：是“有权的“非e剩余类”元素”。
因为筛组P（i）里子筛个数：h=ω，达最多，所剩必”最少”。
o’（一，i）=o’（一，少）何意？（待论）························································（29）
······。”
再思考、分析上述内容：
当以”筛操作方案元素”：o（一，i）=o（一，少），作用于自然数列N，（以箭头符号→ 表示“作用于”）即：
o（一，i）=o（一，少）→（作用于）N，
则必产生“一般性意义”的结果：o’（一，i）=o’（一，少），
此结果：o’（一，少）的内涵及相关疑问应该是：
1，所剩元素必然是：“一般意义”的某几个自然数元素n（一，剩少i） ，且必构成“一般意义”的子集：N（一，剩少i）：
n（一，剩少i） ∈N（一，剩少i）⊆N，所剩元素个数为：a（一，剩少i）。
问：N（一，剩少i）=Φ空吗？a（一，剩少i）=0吗？
答：构建出”乘法意义的、近似意义的、构造性的”连乘式，借”乘法结果”表述某种意义的客观存性的近似值x(近似”。借用“乘法操作”，即：
x（近）=n∏（1-1/p（i）），（此处（i）遍取1、2、3、···ω。）
2，显然，当n足够大时：
x（近）=n∏（1-1/p（i））＞0，
N（一，剩少i）≠Φ。
完整点讲：“一般意义的一筛剩，非空······”。
3，以上两点是必然应该思考、分析的内容。但也不一定是充分的内容，必然还有可分析、思考的余地······。
此处三点，简称为：
“一般性的一筛操作”的结果中的一个“最少”结果：o’（一，少）··············（29。1）
其中所剩：
N（一，剩少i）≠Φ，
x（近）=n∏（1-1/p（i））＞0。··································································（29。2）
逻辑上讲，还应有：
∀o（一，i） ∈O（一）⊆O（二）⊆O（三）⊆······O（？）。···························（30）
回复，15楼，2020-08-14 17:59
接15楼。再思考：
当以”筛操作方案元素”：o（一，i）=o（一，少），作用于自然数列N，（以箭头符号→ 表示“作用于”）即：
o（一，i）=o（一，少）→（作用于）N，
则必产生“一般性意义”的结果：o’（一，i）=o’（一，少），
一般性的一筛操作”的结果中的一个“最少”结果：o’（一，少），其中所剩子集记为：N（一，剩少i），所剩元素个数记为：x（近），必：
N（一，剩少i）≠Φ，
x（近）=n∏（1-1/p（i））＞0。···························································（29。2）
此时，将筛因素：”P（i）、h、ε（i）、k、ψ、”进一步具体化为：
1，研究对象：自然数列N，n=100；
2，由子筛p（i）组成的筛组：P（i）=p（1ω）=｛2、3、5、······p（ω）｝
3，筛组：P（i）里子筛个数：h=ω（个数最多）；
4，子筛p（i）的使用次数：ε=1；
5，子筛p（i）的起筛点为：k=1∈N；
6，子筛p（i）的起筛方向：ψ=ψ同；
7，子筛p（i）的单独取出比为：1/p（i）；
8，单独留存比：α(i)=（1-1/p（i）），......；
9，筛出什么？筛出：取出无权的“e剩余类=0剩余类”；
10，留存什么？留存：所要留存有权的“非e剩余类=非0剩余类的交”。
11，收回元素2、3、5、7；特取出元素1，
前1---11概称为：
"不失一般性的一筛剩中的一个具体、特殊的、留存最少的一个"一筛方案元素”：o（爱）。
当以”筛操作方案元素”：o（一，i）=o（爱），作用于自然数列N，（以箭头符号→ 表示“作用于”）即：
o（一，i）=o（爱）→（作用于）N，
则必产生“不失一般性意义”的结果o'(爱)，此时、其中所剩子集记为：P（1，u），所剩元素个数记为：x（近），且必：
所留存子集：P（1，u）=｛2、3、5、······p（25）｝·······································（31）
所留存的有权的非e剩余类=非0剩余类元素个数即：π(N)，
π(N)≈100*（(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）····················································（32）
回看(13----17)各式，在经典理论中，求π(n)有容斥公式。容斥公式是从组合理论等方面通过严密论证而得。分析容斥公式的精细构造，它实质上是连乘式：
n ∏(一)=n（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）...*（1-1/p（ω））............................(32.1)
的展开，各项取整，再补上Δ(修正、补充)的结果。这充分说明" ∏(一)"具有潜在的重要且深刻的数学上的理论价值。......。
当然，我们现在不使用.(16)、(17)求π(n)。
回复，16楼，2020-08-21 19:

接16楼
现在我们可以简言：
1，符号o（一，i）是一个"一般意义的筛操作方案元素"，实质是一种广义的筛函数。由“众多”符号o（一，i）组成的集合称为："一般意义的筛操作方案(元素的)类集"O(一)，
∀o（一，i） ∈O（一）⊆......；
2、故必可断言："......一般意义的一筛剩，非空，......"。而爱氏筛法只是"一般意义的筛操作方案(元素的)类集"O(一)中的一个不失一般性------具体、特殊的筛方案元素o(爱)，令其作用于N之后，对应出现的一个"不失一般性----具体、特殊的果o'(爱)。此o'(爱)中所留存的”非空、具体、特殊"的子集''必为P(1，u)，规范再写，即：
当o（一，i）=o（一，少）→（作用于）N⇒o’（一，i）=o’（一，少），
此时，在o’（一，少）中必存在：
所留元素属性：素性，
N（一，剩少i）=P(1，u))≠Φ，
π(N)≈x（近）=n∏（1-1/p（i））＞0；
π(N)=（······容斥公式）。
3，回看(13----17)各式，在经典理论中，求π(n)的数值是容斥公式。容斥公式是从组合理论等方面通过严密论证而得。分析容斥公式的精细构造，它实质上是连乘式：
n ∏(一)=n∏（1-1/p（i））=n（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）...*（1-1/p（ω））
的展开，各项取整，再补上Δ(修正)、Δ(补充)的结果。这充分说明，构造型的连乘函数" ∏(一)"在数学上具有潜在、重要、深刻的理论价值。......。(这一点被57141恶攻)
4，"一般意义的筛操作方案(元素的)类集"O(一)里还有一个“生动、精彩”之例(应用)是：
欧拉函数： φ（n）。（此，略）。
5，尚存在的可拓空间是(非必、充的)：
a，∏(一)的理论基础是什么？
b，∀o（一，i） ∈O（一）⊆......----还有什么可拓空间吗？
(即：应该说，得到计算式，并不是最终结果！那么，接下来还能前进吗？前面的路怎么走？)
c，前文中有"荒唐、伪、假、谬.....、.逻辑硬伤......。"吗？
以上1----5，共五点，概称为·························································（33）
以上（1）----（33）是本人对标题：爱氏筛法的”拓深--推广--应用......”进行的初步论述。是此大题目中的部分内容。其中(33.5.a)、(33.5.b)在此处尚未涉及。
(告一段落。)，(论毕)，(必要时再续)。
欢迎朋友来此争鸣！
回复，17楼，2020-08-23 11:37

此处我在讲："......不失一般性一筛剩，非空......"。其意在借此引导出"......不失一般性两筛剩，非空......"。
关于爱氏筛之"内"，再没有半点"油"可捞了。我只是对其进行了"非内"的"拓深、推广、......应用"。建立了一个"广义的、筛操作因素：P（i）、h、ε（i）、k、ψ、"，它实际是一个广义筛函数。是一个极抽象的"数学操作概念"符号。在以逻辑许可为原则下，在组合理论许可形式下，可以生成的很多个"具体的-----不失一般性的一筛操作方案元素o(一，i)，且以此"筛操作方案元素o(一，i)"为元素，(集合成)构成"不失一般性的一筛操作方案元素类集O(一)。
此时，我发现爱氏筛法o(爱)是一个"普通，具体、特珠的、不失一般性的一筛操作方案元素，即：
o(爱)=o(一，i) ∈O（一）......。
可见，爱氏筛法，在整个"抽象代数系统、数论系统里"并非是"孤立、有限、完备、闭锁、不可拓"的存在，它有"上、下"渊源，有"左、右"伴生数学事物存在、与之并存的境界、领域、范畴.....存在.。它尚有"可拓空间"......。
(......？)