转自数学吧，我们来玩一个游戏吧

刚刚又仔细看了一下，楼主的期望计算公式和我不一样但是结果都是1/2的叠加。但是细想一下，这东西压根和期望没关系，简单来说如果入场费是100元的话，那么回本就至少需要正面连续50次也就是（1/2）^50。举个例子：如果前面投币第三次就出现了反面【也就是说赚了4元亏了96元】那么下一次回本的概率就是（1/2）^98【也就是说需要连续98次正面】，简单来说就是随着你游戏次数的增加你回本的概率越来越低到最后甚至接近于0。

但是如果我们换一个问题呢？请问入场费是多少元的时候，这个游戏对于双方来说是公平的呢？这个应该才是楼主想讨论的问题，但是我现在还没算出来，感觉是被楼主算期望的思路带偏掉了。

你拿个币投了一下，‘有1/4概率1次正面’，这就是典型的学习学傻了。

这就是圣彼得堡悖论，可以度娘，有更详细的解释

问题出在无限，期望值是被无限给拉成正数的。
就拿100块为例，你要超过100块，必须投超过7次正面，2^7=128
投过7次正面的概率是1/2^8=1/256
而小于7次的概率总和是1/2+1/4..... 1/128=127/128 要超过99.2%
并且每局成本是100，输的次数和亏损以100的倍数线性增加，赢的时候却和你投了多少正面相关。
即你有99.2%的概率输100，有较小的概率赢28，很小的概率赢156，非常小的概率赢412，极其小的概率赢924，微乎其微的概率赢1948......以此类推。
要是一直玩一下，是可能赢的，某次投到足够多的时候可以一把翻盘，毕竟，猴子也是可以打出莎士比亚全本的。