求p³=p²+q²+r²所有素数解。
若p,q,r均大于3，则p²=q²=r²=1(mod3)
因此p=p³=0(mod 3) 得到p=3,矛盾。
所以p,q,r中必有元素≤3
p=2 ,q²+r²=4 无素数解
p=3 ,q²+r²=18 仅有素数解 q=r=3
下设 p>3
q=r=2, p³=p²+8 无整数解
q=3,r=2, p³=p²+13 无整数解
q>3,r=2 , p³=p²+q²+4 此时仍有p=p³=p²+q²+4=1+1+4=0(mod 3) ,矛盾。
类似可知 q=2 时无解。
所以q=3或r=3,
不妨设r=3,若q=3,此时p=3,与假设 p>3矛盾,所以 q>3 ,
若q=p，此时p³=2p²+9,有p|3,矛盾，所以q,p互素
由 q²=-9（mod p） , 可知 -1为模p平方剩余，那么 p=1（mod4）
而 因此 q²=p³-p²-9=-1（mod4），矛盾（因为任何奇数平方均模4余1）。

只要p,q,r均不为3整除，p²=q²=r²=1(mod3)均成立！不需要p,q,r均大于3！
如果p=q=r，p^3=3p^2，p^4=3p^3，p^5=3p^4，p=3，因此，1楼三式均有p=q=r=3！

求p⁴=p³+q³+r³所有素数解。
p=2，q³+r³=8, 仅有解(q,r)=(0,2),(2,0),非素数解
p=3，q³+r³=54, 仅有解(q,r)=(3,3), 是素数解。
下设p>3,
p³(p-1)=q³+r³=（q+r）(q²-qr+r²)
若q=r , 则 p³(p-1)=2q³ 无解。所以q≠r,不妨设 q>r
此时已知 gcd(q+r,q²-qr+r²)=1 或3
若 gcd(q+r,q²-qr+r²)=1 ，
注意 p³|q+r 或者p³|q²-qr+r²
若 p³|q+r ,则可设 q+r=kp³ ,那么p-1=k(q²-qr+r²)
这样 p-1≥q²-qr+r²≥qr=(q-1)(r-1)-1+q+r>q+r≥p³ 矛盾。
若 p³|q²-qr+r² ,则可设 q²-qr+r² =kp³ ,那么p-1=k(q+r)
同样 q²-qr+r²≥p³ =[k(q+r)+1]³≥(q+r)³>(q+r)²=q²+2qr+r²,矛盾。
类似 gcd(q+r,q²-qr+r²)=3，那么 可设 q+r=3u, q²-qr+r²=3v，p-1=9w，其中u,v互素。
有 p³w=uv ,可知 p³|u 或p³|v
①若p³|u 再设u=kp³ , w=kv ,那么 q+r=3kp³, p-1=9kv=3k(q²-qr+r²)
同样可知 p-1≥3（q²-qr+r²）≥3qr=3(q-1)(r-1)-3+3（q+r）>3(q+r)≥9p³ ,矛盾
②若p³|v ，再设v=kp³ , w=ku，那么 q²-qr+r²=3kp³ ，p-1=9ku=3k(q+r)
类似 q²-qr+r²≥3p³=3[3k(q+r)+1]³>81k³(q+r)³>(q+r)² ,矛盾。

现在问题是：
一般情形 p^(2k+1)=p^(2k)+q^(2k)+r^(2k)可模3分析，类似p³=p²+q²+r²的处理方法
可知素数解仅有p=q=r=3.
剩下 p^(2k+2)=p^(2k+1)+q^(2k+1)+r^(2k+1) 是否也仅有素数解p=q=r=3.