（1）z明显不能是7的倍数，所以z³=1或6（mod7）
(2) 19^x 模 7数值为周期为6的 循环，依次为5, 4, 6, 2, 3, 1,
结合（1）可知x为3的倍数。设x=3w
(3) 立方差分解 7^y=(z-19^w)(z²+（19^w）z+19^(2w))
所以 z-19^w 和 (z²+（19^w）z+19^(2w) 均是 7的幂次
结合 gcd(z-19^w,z+19^w+19^(2w))=gcd(z-19^w, 3×19^(2w))
可知 z-19^w=1 ，7^y=z²+（19^w）z+19^(2w)=3*19^(2w)+3*19^w+1
19^w 模 49 的周期为6，循环 依次为19, 18, 48, 30, 31, 1
可得到 3*19^(2w)+3*19^w+1 模 49 也是周期6的循环, 依次为14，47,1，47，37,7
所以只能 y=1,w=0 此时x=3w=0不是正整数。
所以19ˣ+7ʸ=z³无正整数解