量子力学基本思想和数学工具（为支持吧主而写）

3---量子观念
量子力学中，不论何种基本粒子，在与和它同种类的基本粒子进行比较的时候，都是在质量，带电量及电性，基本组成成分和组成方式这些方面上不可区别的，例如：一个系统中2个电子互换位置，对系统内部其他粒子以及系统整体没有任何影响。这就是所谓同类粒子全同性。

量子力学中，光子的分类方法是按照光波频率不同（也就是单个光粒子的波包频率）来分类。这同时跟随了一个量子传递规则：物质吸收或者辐射光能，必须把光粒子一个一个整个的吸收或者辐射，每个光粒子能量不可以被拆分传递。也就是说，光波能量的传递是一份一份地进行的，每一份是一个光子的能量。
同样，由同一种基本粒子构成的物质的总质量必须是单个这种基本粒子的整数倍，不能有半个这种粒子单独存在。

也就是说，物质的质量和能量的取值绝对不连续。
虽然组成一个质量体的基本粒子可以多种多样，它们的基本质量份数不尽相同，但是，一个物体获得新的物质增加或者失去一部分物质，都必须是整数个基本粒子的质量的变化。由于基本粒子的质量不能无穷小，所以总是有最小质量份数的存在。小于最小质量份数的质量变化不可能发生。

虽然不同种光子对应光波频率不同，但是物体能量的改变也是整数倍化的。
这就涉及到光子被物质粒子吸收和辐射的基本规律：
任何基本粒子的能量状态都是与其所在物质结构对应的结合能量值相对应的（所谓某种结构的结合能量指的是破坏这种结合结构需要给这种结构增加的最小能量值。一旦一种结构获得超过这个能量值的能量，组成这个结构的粒子就会因为结构获得能量转化成这些粒子的动能，从而克服组成这个结构的约束作用力进行运动，从而使得结构散架。）。

同一种结构由于是由同样组成成分的基本粒子构成，因此同种结构也互相相同。每一个结构的打破或者构建需要的能量也相同。由于大粒子之中存在更基本的粒子，所以：大粒子结构的改变导致的物质总体的能量变化一定是每个大粒子结构改变的能量变化的整数倍（因为物体由整数个大粒子结构构成）。

对于大粒子结构中的变化来说，当然大粒子结构含有整数个小粒子，每个小粒子的变化也就对应一份能量变化，所以大粒子结构的能量变化也是对应某些能量份数的整数倍的。

但是请注意：大粒子中的小粒子发生变化，可能存在发生变化的小粒子数目不同的情况，有时候只有1个小粒子变化，有时候又是多个。发生变化的小粒子数目不同，导致大粒子有多种变化状态。而从整个物体来说小粒子的能量份数就成为最基本的能量份数。

实际上，物质内部同一种小粒子的变化也是有好多状态的。

这里例举原子结构中电子跃迁的例子来说明一下：
原子的基本结构是原子中心的原子核以及原子核外的诸多电子按照泡利不相容原理每2个一组形成一个亚层电子层（所谓电子层，并不是像科普读物所说那样把电子看作卫星绕着原子核这个行星运动的轨道，而是电子存在的空间中，最容易观测到电子的空间区域，一般形象地想象成一个有一定厚度的球面，球心是原子核位置。这个区域也就是电子存在的几率最大的空间区域。当然这也是量子力学的几率性存在观点的一个例子），多个亚层按照电子层随核电荷数分布规律形成多个电子层，多个电子层（同心球面）包围原子核组成原子。

电子跃迁指的是同一原子中的核外电子吸收或者放出光子从而改变该电子能量的变化。

量子力学认为，光子既然具有狭义相对论所说的高速运动特征，作为粒子，光子与其他粒子的结合也会造成其他粒子运动性的加强（这是古老的运动粒子说法的现代版），实验证实，光子就是能量，粒子与光子结合，动能增加，必然运动激烈性增加，能摆脱更强的约束力的约束，所以，电子能量的大小和他们距离原子核的距离相对应，电子能量越大，距离原子核越远。

但是，只有同类原子中对应相同轨道的电子在发生相同的远离核（电子能量增加）或者接近核（电子能量减少）的变化时，才会伴随同样的能量变化。
也就是说，相同原子的不同电子层的电子能量一同增加各自到达所在电子层的下一电子层时，会伴随不同的能量变化。
因为电子本身相同，但是不同电子层的电子必然结合了不同样多的光子（从而具有不同能量），具有不同的摆脱束缚力的能力。只有同一层的电子才是完全相同的。

假如按距离原子核越远的电子层代号越大，那么：
---1--同样的2个铁原子分别有2层的一个电子跃迁（就是能量改变移动所在电子层）到3层，这两个铁原子要吸收的光能一定相同。
---2--同样的2个铁原子分别有2层的一个电子跃迁到别的层，第一个铁原子中的2层电子跃迁到3层，第2个铁原子中的2层电子跃迁到1层，前者吸收光能，后者放出光能。
---3--同样的2个铁原子分别有2层的一个电子跃迁到别的层，第一个铁原子中的2层电子跃迁到3层，第2个铁原子中的2层电子跃迁到4层，2者都吸收光能，但后者吸收的光能比较多。
---4--同样的2个铁原子分别有某层的一个电子跃迁到别的层，第一个铁原子中的2层电子跃迁到3层，第2个铁原子中的3层电子跃迁到4层，二者都吸收光能，但是吸收的光能量不同，由于电子层之间的能量差与该层距离原子核距离以及核在该距离上的引力决定，而且还受到其他所有核外电子的合力影响，所以层与层之间的能量差不相等（具体数据和原理很复杂，这里不介绍了）。
---5--不同的铁原子和铜原子分别有2层的一个电子跃迁到3层，吸收的光能不相同。

但是，每个电子的跃迁运动都是要吸收或者发射1个光子来传递能量。
对于只进行同一种原子的相同起始层之间的电子跃迁变化的物体来说，它所发生的总的能量变化一定是发生电子跃迁的原子中每一个电子的跃迁能量变化的整数倍。
对于进行多种电子跃迁的（可以发生在不同种类原子中，不同电子层之间，跃迁方向可以有从低层到高层或者从高层到底层）物体来说，尽管能量变化不是特定份数的整数倍，但是，最小能量变化值还是有限的。

因为光子的发射和结合是物质能量传递的基本形式（2个粒子的碰撞能量交换也是通过交换光子达成的），所以，物质之间能量交换是量子化的（所谓量子化就是指物体发生变化时，同类单元的变化是各自作为单位按照单位整数数量发生变化，而诸多不同类单元变化的合成至少遵守使得物体总体属性变化量的最小值有限，不是无穷小。这导致物质发生任何变化的变化量值不能连续取实数值。）。

明天介绍量子力学的数学工�

对2楼的补充：
量子力学几率存在性引发的另一个观点就是，我们对于未来不能精确预言，只能语言某些可能性以及它们发生的几率。这也是因为量子力学不承认绝对的因果性造成的。

请先不要回复，大家可以等待全文写完发表看法�

明天介绍物理量的算符和它们的基本数学性质。
请先不要回帖

3---物理量的算符
先举一个例子：物体的速度矢量v_的定义式：
v_=dr_/dt
=(d/dt)r_
其中(d/dt)部分就是一阶的关于时间的微分算符，但是(d/dt)r_并不是表示(d/dt)和r_相乘，而只是表示(d/dt)和r_写在一起形成新的表达式，这个新表达式的具体形式决定其代表的运算。所以我们称(d/dt)只是一个算符，它只是一个形式上的符号。本身不代表任何运算。只有当算符和物理量的函数（比如r_(x,y,z)---与坐标有关的位置矢量或者位移)写在一起（我们称写在一起的过程为 用 算符 作用在 物理量函数 上）之后形成新的表达式，这个表达式本身才具有意义。

量子力学中的物理量是通过用代表这个物理量的对应算符形式作用于物体的波函数上（就是把代表该物理量的算符与波函数写在一起）形成新的函数表达式来表示具有特定波函数的物体的某个物理量的函数的。例如：

物体波函数ψ(r_)
则：
--1--物体的动量：P_=[h/(2πi)]{[δ(δψ/δx)/δx]+[δ(δψ/δy)/δy]+[δ(δψ/δz)/δz]}
动量算符：P_#=[h/(2πi)]{[δ(δ/δx)/δx]+[δ(δ/δy)/δy]+[δ(δ/δz)/δz]}
(由于百度贴吧公式书写障碍，我这里用字母后加下划线_表示该字母代表的物理量为矢量，δ为求偏微分记号，一个矢量后面加#表示这个矢量在量子力学中的算符形式。）h为普朗克常数，π为圆周率，i为虚数单位。
那么：P_=P_#ψ
即动量P_的函数的形式等于P_的算符P_#作用于ψ（和ψ写在一起形成新表达式）的表达式形式。

一个算符中所有求微分的记号都要分别作用于波函数ψ，这是一个默认的规定。

--2--物体的动能：T=（P_*P_）(矢量之间点乘得到标量）/2m={[(P_#)^2]/2m}ψ=<<<[h/(2πi)]{[δ(δ/δx)/δx]+[δ(δ/δy)/δy]+[δ(δ/δz)/δz]}>^2>/2m>ψ=<<[h/(2πi)]{[δ(δψ/δx)/δx]+[δ(δψ/δy)/δy]+[δ(δψ/δz)/δz]}>^2>/2m
(这里(),[],{},<>都是括号）
可见，动能算符T#=[(P_#)^2]/2m
T=T#ψ(动能算符T#和ψ写在一起构成的函数)

--3--角动量：L_=r_xP_(注意这里r_和P_都是矢量，他们的x--叉乘符号--乘得到的量仍然是矢量，和矢量*--点乘符号--乘得到标量不一样)
由于x乘要考虑方向，所以比较复杂，我们就通过分别讨论L_在x,y,z3个坐标轴方向的分量后进行对分量的合成得到L_：
Lx_=yPz_-zPy_=[h/(2πi)][y(δψ/δz)-z(δψ/δy)]
(说明：Lx_表示L_在x坐标轴方向的分量，Pz_和Py_分别表示动量P_在z轴和y轴方向的分量，z,y为z,y坐标轴坐标，δ为求偏微分记号）
同样的有:
Ly_=zPx_-xPz_=[h/(2πi)][z(δψ/δx)-x(δψ/δz)]
Lz_=xPy_-yPx_=[h/(2πi)][x(δψ/δy)-y(δψ/δx)]
（希望没有记错）
(L_)^2=[-(h^2)/4π]{[y(δψ/δz)-z(δψ/δy)]^2+[z(δψ/δx)-x(δψ/δz)]^2+[x(δψ/δy)-y(δψ/δx)]^2}

那么，角动量的平方标量算符(L^2)#=[-(h^2)/4π]{[y(δ/δz)-z(δ/δy)]^2+[z(δ/δx)-x(δ/δz)]^2+[x(δ/δy)-y(δ/δx)]^2}

其他物理量也分别具有各自在量子力学中对应的算符，这里就不介绍了，但是所有的算符都是通过波函数形成这些物理量在量子力学中的函数表达式的...

通过上面的一系列介绍可以看出，只要有了物体的波函数，通过量子力学的算符，就能写出任何一个物理量的函数表达式。

4--量子力学物理量函数的本征值
首先简单介绍一下数学中的复数的概念：
我们知道，最早出现的是正整数自然数1，2，3...
由于减法出现被减数不够减减数的情况，人们引入了负数。
由于除法出现被除数不能整除除数的情况，人们引入了分数。
由于正数开方出现不能开得有限位数的情况，人们引入了无理数。
到这里为止，所有的数统称实数。

由于开平方不能对负数进行，为了使得负数开平方有意义，人们引入虚数单位i，并规定i^2=-1。一个非0实数和i相乘得到一个具有虚数单位的纯虚数。

把一个实数（包括0）和一个虚数（不包括0）相加得到的既具有实数部分又具有虚数部分的数叫做虚数（可见纯虚数是虚数的分支）。所有实数和虚数总称复数。

复数一般表示成z=a+bi的形式（复数的代数形式），其中a,b都是实数，i为虚数单位。a叫做复数z的实部，bi叫z的虚部，b叫z的虚部的实数值。
z*=a-bi叫做z=a+bi的共轭复数（其实它们互相为对方的共轭复数），因为它们的虚部互为相反数。

由于欧拉公式的存在，复数经过任何形式的加减乘除乘方开方取对数运算得到的结果都是复数，数的领域终于对运算具有了封闭性和完备性。

函数，作为变量间的对应形式，也具有变量取值的特点，如果一个函数的取值范围是全体复数，那么它的函数值也会取全体复数的一个子集合数集。这种函数叫复变函数。



但是我们要求的物理量的函数，取值范围只能取实数，因为目前来说，复数值没有实际测量意义。

而另一个重要的要求是：
量子力学的算符不仅要能和波函数在一起表示出物理量的函数，还要保证这个物理量的函数具有本征值。

所谓的本征值是这样的：
以动量P_=P_#ψ为例，我们要求在ψ的形式已经确定（物体的状态确定）的情况下能找到一个和这时的ψ相对应的实数矢量p_作为简化P_#对此时的ψ的作用的量，满足
 P_=P_#ψ =p_ψ(p_乘以ψ，矢量乘以标量得到矢量），也就是说利用p_与ψ相乘的形式来简化把P_#和ψ 写成一个表达式的形式，当然所谓简化的前提是这两种形式是等价的。
由于我们通过算符和波函数写出了物理量的函数表达式，当波函数已知的时候，通过方程P_=P_#ψ =p_ψ（ψ为已知），变形成为p=(P_#ψ)/ψ(这里(P_#ψ)是一个含有ψ的表达式，不是P_#和ψ的乘积，这个前面说过，这里提醒一下），就能解出p的值，p_ψ乘积就是动量P_的函数值，也就是动量P_在这个波函数ψ条件下的物理量量值。

如果这样的实数p存在，那么它就叫做关于此时ψ条件的P_函数的本征值。
当ψ已知时P_=P_#ψ =p_ψ叫做动量P_对应于当前ψ条件的本征方程。
对于ψ的所有取值，p=(P_#ψ)/ψ都有对应函数值p与ψ对应，所以这个函数式叫做P_的本征值关于波函数ψ的本征函数。

不同的ψ对应不同的P_函数本征值p。一个函数P_=P_#ψ 会根据ψ的不同有不同的本征值。

这样做的意义在于：把波函数ψ作为系统状态的已知条件，通过量子力学算符作用于这个已知条件得到该算符对应的物理量的值---与ψ对应的那个本征值p，从而得出物理量对于特定ψ状态的物理量量值。

明天介绍量子力学算符的数学性质

7楼第八段
“在x坐标<0的空间中(有力场），V(r_)=V（见已知条件）， 
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=Eψ 
的解是。。。”其中开头小于号应该为大于号，笔误，不好意�

明天是最后一部分：算符的对易性和海森伯格不确定原理�

宽带欠费了，呵呵
继续最后一部分：

算符的对易性和海森伯格不确定原理
如果算符A#和算符B#满足：
(1)这两个算符能作用于同一个波函数ψ
(2)当它们作用于同一个波函数的时候，不论波函数ψ的形式是怎样的，总满足：
A#B#ψ-B#A#ψ=2πihψ成立。

这样的２个算符称为A#对B#对易的算符。

注意式子：A#B#ψ-B#A#ψ=2πihψ
我要强调的是：由于算符作用于波函数等效于把算符对应的表达式和波函数写在一起形成新的表达式，所以A#B#和B#A#由于排列顺序不同，对应成的表达式就可能不同，只有当A#和B#都是表示与波函数相乘的形式，才能根据乘法交换律具有等价性，通常其他算符都具有求导数的算符结构，所以顺序不同会对表达式形式产生巨大影响。
另外，A#对B#对易不表示B#对A#也对易。
通常把简记符号定义为[A#,B#]=A#B#-B#A#，从这个式子可以看出，A#对B#的这个式子和B#对A#的这个式子（[B#,A#]=B#A#-A#B#)不同，而且作用于函数ψ之后，由于A#和B#之中可能含有微分算符，所以，[A#,B#]和[B#,A#]不是简单的相反数关系。

算符之间的关系关系归根结底就是对易或者不对易的关系。

这里[A#,B#]也是一个算符（由算符A#和B#组成的算符)。
通常我们有以下规律：
--1--位移的沿某个空间坐标系坐标轴方向的分量对应的算符r_#一定和与这个r_#分量的同坐标轴方向的动量算符P_#的分量对易。
举例子来说，同是x坐标方向的r#_对于P#_对易，也就是[r#_x,P#_x]=2πih

--2--动量的沿某个空间坐标系坐标轴方向的分量对应的算符P_#一定和不是这个坐标轴方向的位置矢量算符r_#的分量对易。
例如，动量的x坐标方向分量对位移的y坐标分量对易：[P_#x,r_#y]=2πih

--3--时间算符对于能量算符不对易，能量算符对于时间算符也不对易。
--4--角动量算符互相之间的对易关系：
[L_#x,L_#y]=2πihL_#z
[L_#y,L_#z]=2πihL_#x
[L_#z,L_#x]=2πihL_#y

对易或不对易的算符对应本征值的之间的关系：

当算符A#对B#对易，它们一定具有全部相同的本征函数（函数ψ若满足能使A_#ψ =a_ψ成立，其中a为算符A#对于函数ψ的本征值，那么ψ叫做A#的一个本征函数），并且所有这些本征函数满足使得A#是厄米算符。　

当算符A#对B#不对易，一定满足：
|△A||△B|>=πih
其中，△A，△B分别是物理量A,B的测量值的不确定度。

这个式子表面就说明，对于不对易的２个物理量的测量，当其中一个的测量精确度提高，另一个的测量精确度就要下降，不可能同时测准。

这就是著名的海森伯格不确定度原理。它只对于不对易的２个物理量成立。

另外，海森伯格不确定度原理还直接显示：单一物理量的测量永远存在误差，因为客观世界对于任何物理量必然存在和它不对易的物理量，互相不对易的物理量必然遵照这个不确定度原理，所以不对易的物理量的不确定度永远不可能有任何一个为0，也就是说，测量误差（来源于不确定度）永远不能消除。
这是对物理学测量原理的理论揭示，这也是量子力学的巨大贡献之一。

量子力学的内容远不止于此，我的帖子只是介绍一下量子力学中最浅显，最简单的内容，其他涉及应用这些基本原理研究原子结构或者更微观结构的内容涉及的知识更加深奥，但是量子力学是很美的，它具有完美的算符工具系统，并且直接可以和统计学（包括热力学）等基础科学接轨，尽管它和相对论还不是很默契，但是实践证明它们都是正确的理论，我相信总有一天这两种理论会被另一种全新的理论融合在一起。

水平比较浅，诚恳希望高手指正。这些东西（包括狭义相对论的帖子）都是我自己经过大小4次补考自己钻研才领会的，可能很多理科头脑发达的朋友不屑一顾，但是对于我这个没有理科天分，只是因为喜欢物理而一路跌跌撞撞走过大本理科学习路程的人来说，总算是一些收获，希望喜欢物理的朋友既要感受到物理的美，同时也要有心理准备接受它的严格和深奥，这些也是物理的美。
我个人比较赞同重视数学基础和实验验证的物理观念，这显然和我们的教育不相匹配，我们的应试教育注重的是对特定题型和考试得分战术的把握，似乎离物理的本意差的太远。当然，这样说也有为我个人辩解的嫌疑，因为我的课程得分只有实验和设计优秀，呵呵。。。。-v-d（惭愧，其他很多都是补考）

最后感谢吧主对于科普的身体力行和常年的不懈努力，特写这个帖子表示支持，水平很浅，但是希望能对爱好物理的朋友有所帮助�

非常感谢历风的工作，量子力学作为近代物理的基础，的确应该让更多的人理解它的内涵。虽然我是业余，但看到历风能够不顾辛劳的打这么多内容，的确又羡慕又钦佩，所以也将自己对量子论的感想写出一点来，也希望能够得到一点高手指正。由于是临场发挥，想什么就写什么，因此很可能会很不全面。再说我也不打算长篇大论，就点到为止了。
在量子论中应用最多的一个公式就是：
Hψ=Eψ（1）
它就是定态薛定鄂方程（波函数不随时间变化）。其次量子论基本公式还有很多，比如含时薛定谔方程：
Hψ=(ih/2π)δψ/δt，还有相对论性的KG方程和狄拉克方程等。但是我们应用最多的还是（1）式。而且完全可以说，只要真正理解了（1）式，其他的方程在基本思路上还是比较一致的。
H的名字叫哈密顿算符，与经典力学中的哈密顿量H对应，也就是动能加势能：
H=1/2mv^2+V=p^2/(2m)+V（2）
经典力学与量子力学的关系就是：量子化就是力学量的算符化过程，只要将经典力学中的力学量变成相应的算符，代入（1）式求解，就可以得到一组本征函数和本征值。而量子力学认为，本征值就是力学量的测量值，本征函数描述的是一个量子态（状态），它的模方表示粒子在空间中出现的概率密度，只要求出本征函数和本征值，一切问题都解决了，因为系统的所有信息都包含在波函数里。
现在我们将（2）式算符化，也就是量子化。由得布罗意关系p=h/λ=hk/2π再加上光学中或者数学物理中构造波动方程所用的色散关系：k→(-i)[δ/δx,δ/δy,δ/δz],其中中括号内是矢量微分算符的三个分量，i是虚数单位，代入（2）式得：
H=(-h^2/8π^2m)[δ^2/δx^2+δ^2/δy^2+δ^2/δz^2]+V（3）
其中中括号内就是在数学物理中著名的拉普拉斯算符。只要知道了相互作用的具体表达式，也就是势能项V的形式（在坐标表象内，势能表达式不需要算符化）写出了（3）式，就可以将（3）式代入（1）式求出本征函数系和本征值，所有问题也就都解决了。
应用这种方法可以求解谐振子、氢原子等的精确解（在非相对论量子力学中要得到相对精确的氢原子解还需要电子自旋概念）
但是并不是所有的解我们都能精确的得到，氢原子在化学重的地位就像理想气体在热力学中的地位，要想得到其他原子或其它系统的解，还需要在此基础上引入一些方法和技巧，比如结构化学中就是应用的平均场近似或者自恰场方法。
在量子力学中，如果得不到精确解，我们有两种基本的补救方法：微扰论和变分法。具体讲这两种方法挺费时间，所以只能大体提一下。

量子力学的基本方法：
（1）：写出量子系统所对应的经典系统的哈密顿量H（也就是经典力学中的动能加势能）。
（2）：将哈密顿量算符化（也就是量子化）得到哈密顿算符H。
（3）：将哈密顿算符H代入定态薛定谔方程求解，求出本征函数系和本征值。如果无法求出精确解可以应用微扰论或变分法。
（4）：如果波函数是随时间演化的，那么将波函数按照已经求出的本征函数系展开代入含时薛定谔方程求解得到叠加系数。叠加系数Cn的平方的意义就是当在t时刻观测系统的时候，系统的状态（量子态）跃迁到ψn这个本征态的概率。