对任何素数p和任意给定的整数b，如果整数a使a^p-b^p是p的倍数，那a^p-b^p 一定也是p² 的倍数
理由:
⑴当p=2，a²-b²是偶数
要么a, b都是偶数，则a², b²都是4的倍数，要么a, b都是奇数，则a²≡b²≡1(mod 8)，都会得到 4整除a²-b²
⑵当p 是奇素数，设a-b=t，a^p-b^p =(t+b)^p-b^p ≡ t^p (mod p)
如果p整除a^p-b^p，则p整除t
而a^p= (t+b)^p≡pb^(p-1)×t+b^p (mod t²)
所以当p 整除t 时，a^p≡pb^(p-1)×t+b^p≡b^p(mod p²)，也就是p²整除a^p-b^p

同理，对任何无平方因子数 (不同素数的乘积) m和对任意给定的整数b，如果整数a使a^m-b^m是m的倍数，那a^m-b^m一定也是m²的倍数
理由:
如果p是m的素因子，设m=kp
a^m-b^m是m的倍数，那也是p的倍数，相当于(a^k)^p-(b^k)^p 是p的倍数
所以(a^k)^p-(b^k)^p 也是p²的倍数
对m的每个素因子p，a^m-b^m都是p²的倍数，那a^m-b^m是∏p²的倍数，相当于a^m-b^m是m²的倍数

另外，当m有大于4的平方因子时，对任何与m互素的整数b，都存在整数a使a^m-b^m是m的倍数而不是m²的倍数
可以设m的所有素因子乘积为n，取a=b+n或a=b+2n，由LTE引理 (对奇素数和2分开讨论) ，两种情况都能满足m整除a^m-b^m
并且
①如果奇素数p^α ℓℓ m, α≥2，那p^(α+1)ℓℓa^m-b^m，由于 α+1<2α，所以p^(2α)不整除 a^m-b^m，也就说明m²不整除a^m-b^m
②如果 2^α ℓℓ m, α≥3，取a=b+2n，由于b与m互素是奇数，则4 ℓℓ a-b, 2ℓℓ a+b
所以ν2(a^m-b^m) = ν2(a²-b²)+ν2(m)-1 = 2+α < 2α ，2^(2α)不整除a^m-b^m，所以m²也不整除a^m-b^m

最后如果a⁴-b⁴是4的倍数，那a⁴-b⁴一定也是16的倍数
类似3楼的过程可以说明，当m=4×p₁×p₂×…×p(k)，p₁, …, p(k)是不同奇素数时，如果a^m-b^m是m的倍数，那一定也是m²的倍数