本来是为了计算∑(-1)^k*C(n, k)/(k+2)，k从0到n。但发现了一个很奇怪的证明方法……贴出来给自己mark下。
首先考虑n次多项式f(x)，满足f(x)=x/(x+2)，对x=0,1,2…,n成立，那么由插值定理知，f(x)=∑f(k)Gk(x)/Gk(k)，k从0到n。这里Gk(x)=x(x-1)…(x-n)/(x-k)。代入x=n+1，暴力计算得到f(n+1)=1+2∑(-1)^(n+1-k)*C(n+1, k)/(k+2)。
然后用另外一个方式计算f(n+1)。令h(x)=(x+2)f(x)-x，明显0,1,2,…n为h(x)的根。又h为n+1次多项式，于是h(x)=c∏(x-k)，k从0到n。代入x=-2，得到c=2*(-1)^(n+1)/(n+2)!。再代入x=n+1，得到f(n+1)=[2*(-1)^(n+1)+(n+1)(n+2)]/(n+2)(n+3)。
两个f(n+1)相等，整理下就有∑(-1)^k*C(n, k)/(k+2)=1/(n+1)(n+2)。
原则上用这个方法可以计算∑(-1)^k*C(n, k)/(k+m)，m为正整数。