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　　　　┠——※—◆—☆—★—目录—★—☆—◆—※——┨  
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨  
　　　　┠———————-第一章：行列式-———————┨  
　　　　┃　　　　　§1．1 二阶、三阶行列式　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§1．2 n阶行列式　　　　　　　　　┃  
　　　　┃　　　　　§1．3 行列式的性质　　　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§1．4 行列式按行、列展开　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§1．5 克莱姆法则　　　　　　　　 ┃  
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨  
　　　　┠————————第二章：矩阵————————┨  
　　　　┃　　　　　§2．1 矩阵的概念　　　　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§2．2 矩阵的运算　　　　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§2．3 几种特殊的矩阵　　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§2．4 分块矩阵　　　　　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§2．5 逆矩阵　　　　　　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§2．6 矩阵的初等变换　　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§2．7 矩阵的秩　　　　　　　　　 ┃  
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨  
　　　　┠—————-第三章：线性方程组-———————┨  
　　　　┃　　　　　§3．1 线性方程组的消元解法　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§3．2 n维向量空间　　　　　　　　┃  
　　　　┃　　　　　§3．3 向量间的线性关系　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§3．4 线性方程组解的结构　　　　 ┃  
　　　　┃　　　　　§3．5 投入产出数学模型　　　　　 ┃  
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨  
　　　　┠——————第四章：矩阵的特征值——————┨  
　　　　┃　　　§4．1 矩阵的特征值和特征向量　　　　 ┃  
　　　　┃　　　§4．2 相似矩阵　　　　　　　　　　　 ┃  
　　　　┃　　　§4．3 实对称矩阵的特征值和特征向量　 ┃  
　　　　┃　　　*§4．4 矩阵初级的收敛性　　　　　　　┃  
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨  
　　　　┠——————— *第五章：二次项———————┨  
　　　　┃　　　　§5．1 二次项与对称矩阵　　　　　　 ┃　  
　　　　┃　　　　§5．2 二次项与对称矩阵的标准形　　 ┃  
　　　　┃　　　　§5．3 二次项与对称矩阵的有定性　　 ┃  
　　　　┃　　　　§5．4 正定和负定性的一个应用　　　 ┃  
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※⒈最基本知识：  
　　⑴行列式的读法——→“横为行、纵为列”，一行一行的读  
　　　　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　█　◢█◣　 　　◢█◣　　 █  
　　　　█　█　█　 　　█　█　　 █  
　　　　█　◥◤█ 11　　◥◤█ 12　█  
　　　　█　　　　　　　　　　　　　█　　第一行—→“ a　1　1 ”　　第二行—→“ a　1　2 ”  
　　　　█　◢█◣　 　　◢█◣　　 █  
　　　　█　█　█　 　　█　█ 　　█  
　　　　█　◥◤█ 21　　◥◤█ 22　█  
　　　　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　⑵每一个数项的含义：  
　　　　　　◢█◣  
　　　　　　█　█  
　　　　　　◥◤█ １ ２  
　　　　　　　 　　┳ ┳　　　　　　　　 　　　　  
　　　　　　　　　↙　 ↘　　  
　　　　　　　　行标　 列标  
　　⑶主对角线、副对角线：  
　　　　也即英文字母“x” —→第一笔是“主对角线”，第二笔是“副对角线”。（如下图）

★⒉二阶行列式：  
　　⑴二阶行列式的引入

注意：x₁、x₂的算术表达式具有以下特点：  
　　　　 　　　　b₁a₂₂－ a₁₂b₂　　　　　　　　 a₁₁b₂　－ 　b₁a₂₁  
　　　　　　　　　　﹌﹌　　﹌﹌　　　　　　　　　　 ﹌﹌　　　　　　　﹌﹌  
　　　　x₁＝ ------------------------　　　　x₂＝ ------------------------  
　　　 　　　　a₁₁a₂₂－ a₁₂a₂₁　　　　　　　 a₁₁a₂₂－ a₁₂a₂₁  
　　　　　　　　　　﹌﹌　　﹌﹌　　　　　　　　　　 ﹌﹌　　　　　　　﹌﹌  
　　　　　　　　　　 ∨　　　∨　　　　　　　　　　　 ∨　　　　　　　　∨  
　　　　　　　　　　 ↓　　　↓　　　　　　　　　　　 ↓　　　　　　　　↓  
　　　　　　　　　　╰———————————╮╭—————————————╯  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　∨  
　　　　　　　　　　　　　　　　对应的每一列上下具有相同的项  
　　⑵二阶行列式的定义与计算：

⑶用二阶行列式的方法解二元线性方程组  
　　　　由二元线性方程组  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　　◢◤　◢█◣　　◥◣◢◤　　 ◢█◣　　◥◣◢◤　　　 ██◣  
　　　　　　　█　　█　█　　　██　　╋ █　█　　　██　　〓〓 █　█  
　　　　　　　█　　◥◤█ 11 ◢◤◥◣ 1　 ◥◤█ 12 ◢◤◥◣ 2 　　██◤ 1  
　　　　　　◢◤  
　　　　　　◥◣　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　　█　　◢█◣　　◥◣◢◤　　 ◢█◣　　◥◣◢◤　　　 ██◣  
　　　　　　　█　　█　█　　　██　　╋ █　█　　　██　　〓〓 █　█  
　　　　　　　◥◣　◥◤█ 21 ◢◤◥◣ 1　 ◥◤█ 22 ◢◤◥◣ 2　　 ██◤ 2  
　　　　知系数行列式D为：  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣　 　　◢█◣　　 █  
　　　　　　███◣　　　　█　█　█　 　　█　█　　 █  
　　　　　　█　　█　　　　█　◥◤█ 11　　◥◤█ 12　█  
　　　　　　█　　█　〓〓　█　　　　　　　　　　　　　█　　  
　　　　　　███◤　　　　█　◢█◣　 　　◢█◣　　 █  
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　 　　█　█ 　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 21　　◥◤█ 22　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　☆想象系数行列式D中间有一道线，也即：  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　 ┋　　　　 　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣ 　　┋　◢█◣ 　　█  
　　　　　　███◣　　　　█　█　█ 　　┋　█　█ 　　█  
　　　　　　█　　█　　　　█　◥◤█ 11　┋　◥◤█ 12　█  
　　　　　　█　　█　〓〓　█　　　　　　 ┋　　　　　　 █　　  
　　　　　　███◤　　　　█　◢█◣　　 ┋　◢█◣　　 █  
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　 ┋　█　█ 　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 21　┋　◥◤█ 22　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　 ┋ 　　　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∣  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓  
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　　　　　　　　　　　　　　　　┃想象的线，方便分析┃  
　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━━━━━━━━┛  
　　　　∴ 能很方便的求出D₁和D₂，也即，  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┏━━━━┓  


　　　　　　　D₁中将常数行列式C替换D中┃虚线前面┃的对应位置的数，  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┗━━━━┛  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┏━━━━┓  
　　　　　　　D₂中将常数行列式C替换D中┃虚线后面┃的对应位置的数。  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┗━━━━┛  
　　　　　　（注：常数行列式C是  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　█　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　██◣　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　█  
　　　　　　◢███　　　　█　██◤ 1　█  
　　　　　　█　　　　　　　█　　　　　　█  
　　　　　　█　　　　〓〓　█　█　　　　█　　  
　　　　　　◥███　　　　█　██◣　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　██◤ 2　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）  
　　　　故：  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　█　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　██◣ 　　　◢█◣ 　　█  
　　　　　　███◣　　　　█　█　█　　　 █　█　　 █  
　　　　　　█　　█　　　　█　██◤ 1　　 ◥◤█ 12　█  
　　　　　　█　　█　〓〓　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　███◤ 1　　　█　█　　　　　　　　　　　█　　  
　　　　　　　　　　　　　　█　██◣　　　 ◢█◣ 　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█ 　　　█　█　　 █  
　　　　　　　　　　　　　　█　██◤ 2　　 ◥◤█ 22　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　█　　　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣　　　　██◣　　█  
　　　　　　███◣　　　　█　█　█　　　　█　█　　█  
　　　　　　█　　█　　　　█　◥◤█ 11　　 ██◤ 1　█  
　　　　　　█　　█　〓〓　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　　　███◤ 2　　　█　　　　　　　　█　　　　█　　  
　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣　　　　██◣　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　　　█　█　　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 21　　 ██◤ 2　█  
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　█  
　　　　∴ 有：

·

⑷二阶行列式项的特点：共有┃２！项┃  
　　　　　　　　　　　　　　　┗━━━┛  
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简单例题：  
　　　　　∣5　－1∣  
　　例1 　∣　　　∣＝ 5 × 2 － （－1）× 3 ＝ 13  
　　　　　∣3　　2∣  
　　　　　 　　∣λ²　λ∣  
　　例2　　D ＝∣　　 ∣  
 　　　　　　　∣3　　1∣  
　　问：  
　　　　⑴当λ为何值时，D ＝ 0 ？  
　　　　⑵当λ为何值时，D ≠ 0 ？  
　　　解：  
　　　　λ² － 3λ ＝ 0，则λ（λ － 3） ＝ 0，故λ ＝ 0或λ ＝ 3  
　　　　⑴当λ ＝ 0或λ ＝ 3时D＝ 0  
　　　　　　　　　▲  
　　　　⑵当λ ≠ 0且λ ≠ 3时D＝ 0  
　　　　　　　　　▲  
　　　　　　注意：第⑵问尤其注意“且”。  
　　　　　　　　　　　　　　　　　▲  
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★⒊三阶行列式：  
　　⑴三阶行列式的定义：

⑵三阶行列式的计算  
　　　　新方法——→“沙路法”（割补法思想）

常规方法——→“对角线法则”（三阶行列式的计算——→相隔两个斜行）

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简单例题：  
　　　 　　∣　1　2　3∣  
　　例1　　∣　4　0　5∣＝ 1 × 0 × 6 ＋ 2 × 5 ×（－1）＋ 3 × 4 × 0 － 1 × 5 × 0  
 　　　　　∣－1　0 ６∣　　　　－ 2 × 4 × 6 － 3 × 0 ×（－1）＝ －10 － 48 ＝ －58  
　　例2　　a，b满足什么条件时有  
　　　　　　∣　a　b　0∣  
　　　　　　∣－b　a　0∣＝ 0 ？  
　　　　　　∣　1　0　1∣  
　　　解：  
　　　　∣　a　b　0∣  
　　　　∣－b　a　0∣＝ a² ＋ b²  
　　　　∣　1　0　1∣  
　　　　（技巧：某一斜行有“0”项则不需再计算，因为计算结果为0。）  
　　　　∵a² ＋ b² ＝ 0  
　　　　∴a ＝ 0，b ＝ 0  
　　　　故a ＝ 0且b ＝ 0时，给定的行列式等于0。  
　　　 　　∣a　1　0∣  
　　例3　　∣1　a　0∣＞ 0的充分必要条件是什么？  
　　　 　　∣4　1　1∣  
　　　解：  
　　　　　∣a　1　0∣  
　　　　　∣1　a　0∣＝ a² － 1  
　　　　　∣4　1　1∣  
　　　　　　a² － 1 ＞ 0 ⇒ ∣a∣＞ 1  
　　　　　因此  
　　　　　∣a　1　0∣  
　　　　　∣1　a　0∣＞ 0的充分必要条件是∣a∣＞ 1  
　　　　　∣4　1　1∣　　　　　（或写成“a ＞ 1或a ＜ －1”）  
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　　　　　　┏━━━━━━━━━┓  
　　★归纳：┃n阶行列式共有n！项┃——→下一节将提到  
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⑶利用三阶行列式求解三元线性方程组：  
　　　　三元线性方程组  
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　　　　　　　█　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　　██◣　  
　　　　　　　█　　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　〓〓　█　█　  
　　　　　　　█　　◥◤█ 11 ◢◤◥◣ 1　　◥◤█ 12 ◢◤◥◣ 2　　◥◤█ 13 ◢◤◥◣ 3　　　██◤ 1  
　　　　　　　█  
　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　█　　　  
　　　　　　◢◤　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　　██◣　  
　　　　　　◥◣　　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　〓〓　█　█　  
　　　　　　　█　　◥◤█ 21 ◢◤◥◣ 1　　◥◤█ 22 ◢◤◥◣ 2　　◥◤█ 23 ◢◤◥◣ 3　　　██◤ 2  
　　　　　　　█  
　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　█　　　  
　　　　　　　█　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　　██◣　  
　　　　　　　█　　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　〓〓　█　█　  
　　　　　　　◥◣　◥◤█ 31 ◢◤◥◣ 1　　◥◤█ 32 ◢◤◥◣ 2　　◥◤█ 33 ◢◤◥◣ 3　　　██◤ 3  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣　　　　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　　　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 11　　　 ◥◤█ 12　　　 ◥◤█ 13　█　　　　  
　　　　　　　　███◣　　　　█　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　  
　　　　　　　　█　　█　　　　█　◢█◣　　　　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　　  
　　　　　　　　█　　█　〓〓　█　█　█　　　　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　  
　　　　　　　　███◤　　　　█　◥◤█ 21　　　 ◥◤█ 22　　　 ◥◤█ 23　█　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣　　　　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　　　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 31　　　 ◥◤█ 32　　　 ◥◤█ 33　█　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 █

同理可推倒D₁、D₂、D₃  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┏━━━┓  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　替换系数行列式的┃第一列┃  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━━┛  
　　　　　　　　　　　　　　┌—————————————————————————————┐  
　　　　　　　　　　　　　　∣　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◢◤　　 ↓　　　 ◥◣　　  
　　　　　　　　　　　　　　∣ 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　◢◤　┏━━━━━┓　◥◣  
　　　　　　　　　　　　　　↓ 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█  
　　　　　　　　　　█┏━━━━━┓　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　█　　┃ ██◣　 ┃　　█  
　　　　　　　　　　█┃ ◢█◣　 ┃　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　　█　　┃ █　█　 ┃　　█  
　　　　　　　　　　█┃ █　█　 ┃　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　█　　┃ ██◤ 1 ┃　　█  
　　　　　　　　　　█┃ ◥◤█ 11┃　　◥◤█ 12　　　 ◥◤█ 13　█　　　　█　　┃　　　　　┃　　█  
　███◣　　　　　█┃　　　　　┃　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█  
　█　　█　　　　　█┃ ◢█◣　 ┃　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　　█　　┃ ██◣　 ┃　　█  
　█　　█　　〓〓　█┃ █　█　 ┃　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　█　　┃ █　█　 ┃　　█  
　███◤ 1　　　　█┃ ◥◤█ 21┃　　◥◤█ 22　　　 ◥◤█ 23　█　　　　█　　┃ ██◤ 2 ┃　　█  
　　　　　　　　　　█┃　　　　　┃　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　█　　┃　　　　　┃　　█  
　　　　　　　　　　█┃ ◢█◣　 ┃　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█  
　　　　　　　　　　█┃ █　█　 ┃　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　█　　┃ ██◣　 ┃　　█  
　　　　　　　　　　█┃ ◥◤█ 31┃　　◥◤█ 32　　　 ◥◤█ 33　█　　　　█　　┃ █　█　 ┃　　█  
　　　　　　　　　　█┗━━━━━┛　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　█　　┃ ██◤ 3 ┃　　█  
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