标准数独技巧教程——直观篇

本部分简要概括和介绍数独的基础内容，这些内容将对后续的部分作出铺垫，所以非常重要，我们来看一下。
什么是数独？数独是一种益智游戏，在空格里填入数字1到9，使得每一行、每一列和每一个用粗线围起来的3×3的九个单元格里，填数都包含1到9各一个。换句话说，没有重复的数字出现。比如下面这个答案所给出的样子：

可以从图上看出，每一行、列和粗线围起来的区域（称为宫，Block），都有9个单元格，并且每一组这样的9个单元格都不含有相同的数字，都是1到9各有一个，不多也不少。这便是数独的规则。规则其实理解起来并不是那么难，对吧。
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需要注意的是，每一个题目都只有唯一的解。所谓的解，也就是答案。每一个合适的题目都必须拥有唯一的答案。换而言之，每一个空格的填法都只有唯一的一个。但凡拥有某个（或某些）单元格出现多出一种填法的话，都算作多解题，这种题目不是合法的。例如上题，就是一个合格的题目，答案是唯一的；另外，如果一眼就能看到题目所给的数字不满足数独规则，或者是经过一部分推理逻辑得到一些填数并保证这些数字是正确的填入后，此时出现不满足数独规则的情况，那么这种题目叫无解题，即不可能有解的题目。
实际上，唯一解的特殊约定并未定义在题目的整体规则之中，但由于多解和无解题无法找寻结果，以及大多数情况下不能完成而没有意义被排斥，所以唯一解的要求依然被我们算作数独规则之中，作为一条“潜规则”（Da Rale）
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如果在做题过程之中错题了，即发现了行、列和九宫格里出现了重复的数字，这个时候我们怎么去改正呢？一般而言，错题是一件很棘手的事情。只要错题，一般就只有两种解决方案：第一种是通过回忆做题顺序的方式来找到错误所在地方，然后恢复到错误的地方，重新继续完成题目（回溯）。不过这种方法实现起来比较困难，因为回溯需要依赖于记忆做题步骤，而做题步骤太多，才发现错误的话，一般来说都不好解决。我们建议的唯一的方法就是重做此题。
数独是一个很严谨的逻辑推理游戏，如果错题了，还有一种方法，就是通过局部数字置换的方式，将一些数字两两交换，来还原题目。不过这种方法有时候很奏效，但有时候会使得情况变得更糟糕。
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我们约定，题中黑色的数字表示用于提示做题的数字，蓝色的数字表示经过黑色数字推理得到的填数。黑色的数字我们叫做提示数或已知数，而蓝色的数字我们叫做填入数，两者统称明数或确定值。
不过，有一部分题目在使用之前尚未找到原题目（即无法还原到原题）的话，那么题目里的所有确定值的数字都将会被默认涂成黑色的。

下面介绍一下坐标约定。
我们把一个盘面（题目）用“字母A到I+数字1到9”的形式表示某个单元格。其中字母A到I表示第1到9行，数字1到9表示1到9列，他们拼凑起来表示一个单元格。
比如第2行顺数第3个单元格可以写作B3，第4行顺数第6个单元格可以写作D6。
简记：
如果两个坐标的字母或数字相同，可以考虑合并坐标。比如A3和C3简记为AC3，B1和B5简记为B15，A1、A4、C1、C4简记作AC14。
PS：抱歉把你们评论删了，实际上我腱鞘炎还是没好，但是还是得写，拖太久了……

宫排除

注意观察第3个宫，数字8的所有可能填数位置只有C7一个单元格。注意把思维转过来。我们思考一下，第3个宫可以放数字的位置一共就只有B89和C78四个单元格，但是B8、B9、C8是不能放8的，因为它们同一列上是有提示数8的存在的，如果在这三个单元格的其中一个单元格放了8，那么必然这一列就会有两个8，违背数独规则。
所以为了让逻辑更透彻，思维方式就反过来理解，我们用外侧的提示数8（这里指的是H8和D9的8）往它所在的所有行列宫上画线，表示这些位置都不能放8。然后画线就可以更加清晰地确定8的最终填数位置（第3个宫）只可以放C7。
观察方式
这个技巧的观察方式就是通过上面画线的形式来做，如果你做题偏好使用纸张而不是App，那么建议你用手去画线，而不是用铅笔、签字笔等去画，因为这样擦不掉也影响你对后面其它数字的判定。

行排除

如图所示，注意第3行（也可以叫C行或者行C，即用坐标的字母表示某行），和上述宫排除规则和逻辑类似。发现这个行上只有C46两个单元格没有填数。
可以发现，数字5在第6列上是有提示数的，这使得同一列上不可再放5，否则出现两个5会引起和数独规则的矛盾。所以5必然在第3行就不能放在C6了（C6在第3行，而它就恰好处于第6列）。
所以唯一放5的地方就只有C4，所以C4填5是这个技巧的结论。
观察方式
行排除依旧是通过排除画线的形式来找，但行排除对宫排除不同的地方在于，行排除是一整行，而它……太“宽”了！这使得我们眼睛去接受一些比较宽和长的事物的时候总不如宫排除那样容易聚焦一些。宫排除是3x3的结构，它正好适合眼睛做题和观察（我喜欢叫它“容易聚焦的”），所以行排除看起来就不是那么友好，但是多刷题就有感觉了。
而且你可以尝试去找一些空格不是那么多的行列，然后去外边挨个看排除信息点（就是那些外侧的提示数，比如图上就指的是I6的这个5）。

列排除

列排除和行排除规则和理解方式类似。观察第8列（或者叫8列，或者列8），8列一共有A8、B8、E8、G8四个空格。其中1只能放在B8。为什么呢？A行有提示数1了；E8不能填1是因为在第6个宫里有1的提示信息。一定要注意，数独规则除了行和列的要求外，还有宫的要求，所以F9的这个1虽然和E8不同行列，但由于同属于一个宫，依旧不允许1放在E8；G8不能放1，因为G5是1，该行其余位置不能放入1。
所以最终1只能放在B8。所以B8就是1了。
观察方式
和行排除一样，因为观察视角稍显别扭，所以需要你多做题找感觉，而且可以尝试找一些空格比较少的地方，然后检查外侧提示信息点。

小问题
Q：为什么前文介绍的技巧用的都是黑色的数字（提示数）作为提示信息点呢？难道蓝色数字（自己填入的数字）不能作为提示信息点吗？
A：不是的，这些题用提示数（黑色）作为提示信息点单纯是巧合，你可以用你自己填入的数字（蓝色）作为提示信息点来排除一些地方。但是这必须确保你之前推导得到的数字都得是逻辑正确且有效的。如果得到的数字有误，你再拿去用的话，有可能引起题目无解。当题目没办法做的时候，就只能很遗憾地通知你，重做这个题吧。
Q：排除是按什么规则取名的呢？
A：排除分行排除、列排除和宫排除三种，区分方式按的是结论到底出现在什么区域来命名的。所谓的区域（region/set/house），指的是某个行、某个列或是某个宫。当你发现某个数字在某行只有唯一的填数位置的话，那么这个排除就叫行排除；同理其它的名字也是一样的命名规则。
Q：lz帅吗？
A：并不。

排除技巧练习
下面给大家放四个练习题，专门练习你对排除技巧的掌握程度。

唯一余数

如图所示，注意F9这个单元格。这一次我们单纯只看它。为什么？数一下这个F9，到底能填什么？
1？不行，因为G9是1。
2？不行，因为F5是2。
3？不行，因为C9是3。
4？不行，因为F2是4。
5？不行，F4是5。
6？不行，F6是6。
7？不行，F3是7。
8？好像可以，丢到待定席等候处理。
9？不行，F1是9。
我们把1到9挨个全数一遍后才发现，只有数字8好像可以放进去。所以F9就只能放8，也不得不放8了。
这个技巧和排除的推导方式看起来是不同的，排除用的是某个行、列、宫来出结论，而这个技巧用的是单独看某一个单元格就行，只是找提示信息点依旧用的是外侧的数字，但它们可能来自于各个方向上。比如这个题，3的提示信息点（C9）在和F9相同的第9列上，而7又在F9所处的第6行上。
观察方式
这个技巧的难点就是上面说到的这样。显然它对多个区域作同一个单元格的排除效果，是比较难观察到的。如果你实在对唯一余数不敏感，我推荐你练习一下数数。比如随机给出1到9这九个数字的其中8个数，然后需要你立马得到缺少的数字是多少。多做这个练习有助于锻炼你对数数这一个概念的理解，和对数字敏感性的提升。
当你对它很熟悉了之后，你再来看唯一余数，就会好一些。此时我推荐你找唯一余数的办法是，和行列排除类似，建议你找空格比较少的行、列、宫，然后对这些空格挨个确定填数可能。比如我们第6行缺1、3、6三个数字没填，那么空格自然就只能是1、3、6了。这个时候我们再来对每一个单元格，来看各自所在的其它区域。比如第1行的A8，可能放的数字有1、2、7，那么再往这个单元格A8所在的列和宫里去找有没有1、2、7的提示信息点。如果有，看看可不可以影响其中1、2、7的两个数字。如果可以，那么OK，唯一余数就找到了；否则还不行，那就得继续看其它单元格了。

宫区块 + 排除

现在我们来掌握一个新的结构：区块（Locked Candidates）。这个概念对后面使用排除和唯一余数来说非常重要。
区块也和排除类似，产生在不同的行、列、宫上，也就赋予了不同的名字：行区块、列区块和宫区块。和排除的讲述方式类似，我们先介绍宫区块。
如图所示，先观察第6个宫，注意3此时能放的位置只有D78，不过我们无法继续确定到底是D7还是D8能放3。但是你发现没，不管你D7还是D8放3，D行都会有一个3一定落在D78上，这使得D行其它位置（D1234569）是不可以放3的。
那么接着我们借助这个结论来看第1列。发现3此时就只能放在F1了。相信我就不用多解释ABCEH1为什么不可以放3了。不过D1为什么也不行呢？因为刚说了，D行其它位置不能放3了，因为D7和D8里会出一个3，而它们恰好同时都在第4行。
所以这个题的结论就是F1填3。另外，我们就称这里D78必须有一个位置放入3的结构叫宫区块，因为这个区块本身是产生在第6个宫的，且构成的结构我们称为区块。可以记作D78(3)。
观察方式
区块的观察是通过排除类似的方式得到的，所以我们照着排除技巧（画线）来用就好，不必因为区块是一个独特的技巧而单独给它搞一种观察视角。

宫区块 + 唯一余数

为了让大家多找感觉，这里再列一个宫排除的例子，不过它搭配唯一余数，看看能用成什么样子。
比如这个例子里，F1只能放8，为什么呢？
1：E1是1（同宫且同列）；
2：注意观察第7个宫，发现2在第7个宫的填数只有GI1两个单元格，但它们都在第1列上，所以第1列显然是只能把2放在G1或者I1的；
3：B1；
4：F5；
5：F4；
6：F6；
7：D1；
8：不清楚，没看到明显的排除逻辑，所以先待定；
9：F2。
所以发现到的是，只有8是可以填入到F1的，所以F1就填入8。
再给你看个例子。这个例子就得你自己推理了，我就不解释了，得到的结论点在E5，E5只能填入9，看看为什么哈。

行区块 + 排除

同时，行列区块也具有和宫区块一样的排除加唯一余数配套使用的逻辑。
如图所示，仔细观察第7行，发现第7行只有G46可以填入1。这一次我们要把思维扭过来，G46有一个是1，但它们都处于第8个宫，这表示什么呢？不论你放G4还是放G6，1是不是在第8个宫都已经出现了？按照数独的要求，每一个区域（不论是行、列、宫）都满足1到9数字各出现一次的要求。所以1显然是不能再出现在第8个宫了，于是H1、I23这些位置就给我少来了！它们是不可以放1的。
那么得到这个结论后，此时我们切换视角，转去看第5列。发现第5列填入1的位置只有A5，所以A5就是1了。

列区块 + 唯一余数

行列区块依旧可以搭配唯一余数的技巧。这里介绍一个列区块加唯一余数的使用。注意观察第1列，发现5的填数位置在第1列上只有DF1可以放，所以D1或者是F1有一个放5。但是它们又恰好在第4个宫里，所以第4个宫这个时候其它位置就不能放5了。
接着通过唯一余数的操作，来对F2作一个数数。发现1、2、3、4、6、7、8都有提示信息点了，所以只有5和9可以。但是5也不行，刚刚说过第4个宫其它位置已经不能放多余的5了，所以F2可以填的只有9。

组合区块

如图所示，仔细注意第2和第5个宫的数字6。发现数字6在第2和第5个宫只能放在橙色的四个单元格里。分开看的话，就是第2个宫的6形成了宫区块（C56），第5个宫形成了6区块（F56）。
不过，这两个区块本身看起来各自都影响不到对方，但是可以思考一个问题，它们构成了长方形（矩形）的形状，那么6在这四个里的填法就只可能是左上右下以及右上左下两种填法。说白了，要么C5和F6是6，要么C6和F5是6。
管你怎么填，这个时候转换视角，看下第5和第6列就会发现，管你刚才是怎么填的，5列和6列必然都会出一个6在橙色单元格里。举个例子，刚才的两种情况使得第5列必然有一个6在要么C5，要么F5位置上；第6列也是。
这样有什么用呢？6既然只能在橙色单元格里了，那么第5、6列的其它位置自然就不能放其它多余的6了。所以注意H6，通过唯一余数就可以发现，H6只能放3（其中1、2、4、5、7、8、9不行，而6不行是因为第6列其它位置是不能填6的）。
这种配合一起使用的区块叫做组合区块，也叫级联区块（Cascading Locked Candidates），级联（Cascade）一词是微软在数据库里发明的一种叫法，表示两个事物有所关联。
另外，这个技巧在一定程度上可以转换为一个普通的行列区块结构。比如和上面例子完全一样的题，就可以把组合区块改为一个普通的列区块。
但是既然可以降低复杂程度，为什么还要介绍组合区块呢？因为很多时候，行列区块的观察是非常需要平时不断练习才看得出来的，这个时候对于萌新就不容易找到它们。组合区块的出现，是为了解决观察行列排除和行列区块才存在的。
行列区块有时候可以改写为两个宫区块并行形成的结构，以此来解决行列区块不好观察的问题。

小问题
Q：区块有三个单元格并在一起看的结构吗？
A：存在。不过很多时候还是两个单元格一起的居多。
Q：组合区块必须是两个宫区块并在一起看吗？可以行区块加宫区块组合吗？
A：从理论上说，确实可以。不过这些复杂视角我们是不推荐的，因为这样的观察视角会非常麻烦，也比较难找到。对于萌新还是尽量从宫入手去看宫排除和宫区块。如果不行就用宫+宫区块的组合区块来搞。
Q：我学过一点技巧，好像组合区块这个技巧也可以叫X-Wing？
A：是的，组合区块用的就是X-Wing技巧的推导方式和逻辑。与其说它是两个区块，还不如就干脆叫它X-Wing技巧。不过这个技巧是超纲内容，我们这里就不多说了。只是可以告诉大家，X-Wing技巧允许结构在任意2x2的四个单元格，只要能构成矩形形状，且有类似于区块一样只能放在这些位置的时候可用。
但是非要区分它们，X-Wing包含上面这种组合区块结构，它们是包含关系。
Q：组合区块可以3x3吗？换句话说，有没有可能让某三个并排的宫里都出现一个宫区块，且它们恰好也构成了矩形形状呢？比如这样？

A：可以的，组合区块最大的结构和形式也就是这样了。不过，这种结构很多时候都派不上用场。如果你用到了，那么可以锻炼你的思维方式；但是推理逻辑就会更复杂一些：分三个情况讨论，这里就不再介绍了。和前文提到的超纲的X-Wing技巧同理，这个思路用到的则是Swordfish技巧的思路。