这两个变换确实很常用，学习了。此外印象中在数学物理方程里还有一个勒让德变换，求解一种类型的偏微分方程很有用。

公式三无非就是一个含参积分，问题是反演公式如何确定，这才是重点。。。换句话说。。。量子力学中常使用的无限维基底好处在于是完备的hillbert空间，操作一下就是正交归一的hillbert空间的基适量，可以自然找到H的对偶H※,亦是有对偶基矢量，傅里叶变换就是如此的。。。你这个变换的基础也应该先保证f构成一个完备的内积空间。

数学物理方程里的许多方法的确非常经典，前人的这些数学思想确实太吸引人了。
有道理，数学变换最重要的是怎样找到反演公式。数学从常量到变量是一个飞跃，从变量到任意函数是另一个飞跃。例如微积分的牛顿莱布尼茨公式，之所以有如此魅力，是因为它处理的基本对象是一大类有相当大任意性的函数。因此数学或者科学的规律其实就是从变化的东西中找到不变的东西，从一大群具有任意性的对象中找到共同的本性。