有关复平面上没有解的证明：
考虑f(f(f(f(x))))的不动点。代入函数方程中得到四次方程。解之得到它们正好是(1+sqrt(3)i)/2, (-1+sqrt(7)i)/2以及它们的共轭。记r=(-1+sqrt(7)i)/2。
现在考虑s=f(r)。注意到f(f(f(f(s))))=f(r)=s，故s必为上面的四个解之一。
若s=r，有f(f(r))=f(s)=f(r)=s=r，另一方面f(f(r))=r^2+1不等于r。矛盾。
其余情况类似分析。