另外补两点个人浅见。因为这些都只是“通俗描述”，不是严格的数学定义，所以个别词句不严格请见谅。
1. 有两个基本的东西，线性结构和度量结构。把这两货结合到一起就成了范数。距离是“纯朴”的。对比范数和距离的定义（抽象定义），可以发现范数多了一个数乘，保证了它的线性结构。所以范数可以粗略理解成“距离和线性的强化扩展”。范数和距离这两个概念是 距离 < 范数，或者距离 + 线性 = 范数。这几个小于和加号等号没什么数学含义，只是描述个人认为的“概念扩展关系”。这样也很容易从比较“直观”的角度“诠释”（脑补）为什么有了范数就可以直接用范数诱导出距离。但反过来就不一定能够行得通，有距离，不一定满足范数的数乘（线性）条件。
2. 范数和内积也是类似，范数 < 内积。也就是说，一个线性赋范空间，再加上合适的内积，能成为内积空间。所以有了内积，就蕴含着范数。而反过来不一定行。

楼主不用出些习题做课后检测吗 例如是否存在空间使||a||^2+||b||^2=2||c||^2之类

一般来说，没必要去赋2范数以外的范数吧，那些范数的性质只会更差。

二范数只是特殊的纯量积而已，在矩阵空间中表出是个正定厄米特矩阵

L∞能诱导内积吗

照你这么说，那巴拿赫空间就是具有完备性赋范空间了

(⊙o⊙)哦，我一个高中竞赛渣渣路过大佬身旁，吓到瑟瑟发抖