蒙元史分大蒙古国历史和元朝历史两个部分，大蒙古国历史和金朝历史南宋历史西夏历史交叉，大蒙古国灭金与西夏，元朝时期灭了南宋，这期间的国统关系是金朝灭北宋，承宋朝正统，南宋为附属国，蒙古灭金，承金朝正统，而南宋在金灭后，因联蒙灭金和华夷思想的排斥，还维持宋朝正统与元对持，元灭南宋，成为正统，朱元璋反元后，同时期还有复宋的义军，为表明自己的大义和正统，表明承继元朝的正统。这其中大蒙古国演变成元朝和四大汗国

不以史料，还以你那奇怪的逻辑不成?

1260年1月4日，忽必烈率军抵达燕京即今北京市，解散了脱里赤征集的民兵，“民心大悦”。忽必烈率军在燕京近郊驻扎，度过整个冬天，并积极和诸王联络，准备在1260年春天召开库力台大会，举行登基大典。
1260年5月5日忽必烈登基成为大蒙古国皇帝即蒙古帝国大汗。忽必烈发布称帝的即位诏书《皇帝登宝位诏》，在诏书中，他自称为“朕”，称他的哥哥元宪宗蒙哥为“先皇”。
1260年6月29日，忽必烈发布《中统建元诏》，正式建年号“中统”。
1264年9月7日，忽必烈发布《至元改元诏》，取《易经》“至哉坤元”之义，改“中统五年”为“至元元年”。
忽必烈，在经过一系列的内争外斗之后，终于在1260年坐上了蒙古大汗的宝座，七年后，忽必烈迁都大都城，即今天的北京城，又过了四年，他将他的国家改名为“大元”。“大元”的国号出自儒家经典《易经》中的“大哉乾元”一句，是对广阔无垠、无始无终的浩大宇宙的赞叹。不过，这大气磅礴的两个字当然不是忽必烈想出来的，虽然他很热爱汉文化，也受到过良好的教育，但是，对于汉文化，他还没有熟练到运用自如的程度。“大元”这个国号的提出，其实是来自刘秉忠的建议。至元八年（1271年）十一月，由刘秉忠带头，几位大臣给忽必烈上了呈文，呈文说：“元正、朝会、圣节、诏赦及百官宣敕，具公服迎拜行礼。”就是在忽必烈的认可下，改国号行朝仪的一系列工作逐步完成了，于是忽必烈正式建国号为“大元”。为此，朝廷还颁下一道诏书，公告天下。

大蒙古国的执政思想杀戮掠夺领土牧马放羊，而元朝忽必烈仰慕汉法，在金降臣和南宋降臣的影响下施行汉法，执政思想为治民收税。

关于秦汉元明四朝的开始时间，都是以开国皇帝称皇帝开始计算：
一、秦国在公元前770年，只是周天子分封的众多诸侯国之一，是周天子的臣子。公元前221年，秦始皇称皇帝，秦朝开始。
二、刘邦在公元前206年被西楚霸王项羽封为汉王，他是西楚霸王手下的众多诸侯王之一，是西楚霸王的臣子。公元前 202年，汉高祖刘邦称皇帝，西汉开始。
三、铁木真在1189年，经乞颜部贵族会议推举为汗，正式开始和群雄逐鹿草原，到了1206年春，铁木真即皇帝位，元朝开始。
《元史》卷一《太祖本纪》记载的非常清楚：
“元年丙寅，帝大会诸王群臣，建九斿白旗，即皇帝位于斡难河之源，诸王群臣共上尊号曰成吉思皇帝。”
除了各种史料记载元太祖1206—1227年的皇帝身份，还有很多文物证据，具体可见这个帖子：
关于元太祖（1206—1227）和元世祖（1260—1294）两位帝王，何时具有皇帝尊号，以及他们对于作为中原皇帝的身份认同，这个帖子的6楼到67楼的众多文物和史料证据，足以证明： http://tieba.baidu.com/p/5482471672
四、1364年，朱元璋被百官推举为吴王，建百官司属，仍以韩宋政权皇帝小明王韩林儿的龙凤年号纪年，以“皇帝圣旨，吴王令旨”的名义发布命令。也就是对外宣称他是皇帝韩林儿的臣子。
1368年，朱元璋称皇帝 ，明朝开始。

第一句说了统一天下而建立王朝，必须有美好的名号，以继承历代先王的正统。

《元史》前后只用了331天，不到1年！从他的修订时间可以看出朱元璋并不重视元朝，结合当时情况，还有复宋义军的存在，朱元璋为了自身利益，不承认宋统，所以修元史，表明自己承继的元朝的正统地位

这个是至元八年（1271年）《建国号诏》的原文，节选自元刻本《元典章》：

4）明太祖实录》卷九十二记载如下：
洪武七年（1374年）八月甲午朔，上（明太祖朱元璋）躬祀历代帝王于新庙。自伏羲至元世祖，凡十七帝，为五室，每室各用牛、羊、豕各一，祝一，每位用笾、豆各十，簠、簋、登、铏各一，爵各三，帛各一，白色，共设酒尊五于殿之西阶，又设酒尊三于殿之东阶。礼毕。祝文：
【三皇，五帝，三王，汉高祖、光武、隋高祖，唐太宗、宋太祖的祝文此处省略，只节选对元世祖的祝文】
祝文：元世祖曰：
“惟神昔自朔土，来主中国，治安之盛，生餋之繁，功被人民者矣。夫何传及后世不遵前训，怠政致乱，天下云扰，莫能拯救。元璋本元之农民，遭时多艰，悯烝黎于涂炭，建义聚兵，图以保全生灵，初无黄屋左纛之意，岂期天佑人助，来归者众，事不能已，取天下于群雄之手，六师北征，遂定于一。乃不揆菲德，继承正统，此天命人心所致，非智力所能。且自古立君，在乎安民，所以唐虞择人禅授，汤武用兵征伐，因时制宜，其理昭然。神灵在天不昧，想自知之。今念历代帝王开基创业、有功德于民者，乃于京师肇新庙宇，列序圣像，每岁祀以春、秋仲月，永为常典，礼奠之初，谨奉牲醴致祭，伏惟神鉴。尚享！”

忽必烈建立元朝重组了蒙古本部和藏地中原。这个政权的名字从铁木真时期的大蒙古演变为大元大蒙古。忽必烈是蒙古大汗更是元世祖。大元大蒙古这个词，大元与大蒙古是并列，忽必烈即是大元皇帝也是大蒙古汗。大元不是前缀不能当成大元的大蒙古

关于元朝前期的皇位继承，具体如下：
元太祖成吉思皇帝1219年西征之前就已经公开确认窝阔台为继承人，不过，元朝的继承人制度一直不太稳定，尤其是前期。
1241年12月，元太宗窝阔台去世，虽然生前指定了失烈门为继承人，但是大皇后脱列哥那一定要求立长子贵由，拔都和贵由不和，坚决反对，结果拖到1246年8月，贵由才强行登基，1248年4月，贵由去世，拔都又联合拖雷家族，1251年强行推举蒙哥登基，从窝阔台家族手里夺取皇位，蒙哥随后打击窝阔台系和察合台系。
1259年8月，蒙哥在四川前线突然病逝，生前没有立继承人，他的几个儿子都还小，而且没什么战功，不可能即位，他的三个同父同母的弟弟，忽必烈，旭烈兀，阿里不哥，都是有一定功劳和威望，也都具有即位资格，旭烈兀远在叙利亚，来不及赶回来，忽必烈和阿里不哥各有一批支持者，于是1260年初，两个人各自分别自行登基，然后开始彼此攻打，1264年，忽必烈最终获胜。
1260—1264年忽必烈和阿里不哥争夺正统帝位名分期间，西北宗藩几大汗国，伊儿汗国旭烈兀一直支持忽必烈，察合台汗国被忽必烈和阿里不哥一直在争夺，但是，1264年，阿里不哥失败后，钦察汗国别儿哥，察合台汗国阿鲁忽，伊儿汗国旭烈兀，都是承认忽必烈的正统地位的。还准备1266年一起在蒙古草原召开大忽里台，只不过，旭烈兀1265年去世，阿鲁忽1266年去世，别儿哥1266年去世，他们的继承人忙于稳定内部局势，这次大忽里台最终没有举行。还有就是因为1268年海都之乱爆发，海都重建窝阔台汗国，然后窝阔台汗国实际控制察合台汗国，然后进攻忽必烈，企图夺回窝阔台家族的帝位，但一直没有成功，西北战乱持续30多年，1301年海都去世，到了1303年，西北宗藩四大汗国最终全部承认元朝皇帝宗主地位，黄金家族内部最终实现和平。
1268—1303年海都之乱，本质上就是窝阔台家族为了从拖雷家族手中夺回帝位，海都实际控制了察合台汗国，然后集合察合台汗国和窝阔台汗国的实力对抗元世祖和元成宗。
伊儿汗国君主作为拖雷家族后裔，一直支持元朝皇帝，钦察汗国别儿哥1264年承认忽必烈的皇帝（合罕）宗主正统地位，承认自己是西北宗藩，此后历代钦察汗，都积极和元朝皇帝改善关系，1302年，钦察汗国军队进攻窝阔台汗国和察合台汗国，作为西北宗藩，积极配合元朝皇帝，为1303年窝阔台汗国和察合台汗国承认元朝皇帝宗主正统地位做了很大贡献。
因为伊儿汗国 和钦察汗国1303年之前早就一直承认自己是元朝宗藩了。
就说这么多吧，元朝皇帝和西北宗藩四大汗国的关系，论文很多，随便一搜一大堆，不要什么都不了解，就张口以来。

不是从忽必烈建立元朝开始？

历史不以史料记载，以楼主的话为准。