我们在研究多维度空间的时候，总是要寻找多维度空间的数学意义，否则就只是空想。而其中最典型的就是探索中点与端点的关系。
我们如果把线看作一维，那么线段就是线的一部分。我们探索线段的长度就有了如下的公式。
线段的长度公式：L=2r
公式说明：
r是中点到端点的距离。
也就是说线段可以看作是中点到端点距离的两倍。
这是一维空间。所以，在这个空间里。运动的自由度只有两个。
下面我们再来看二维空间。我们也定义中点到端点的距离为r。实际上就是圆的半径。而我们仍然是按照上面的公式推理。则端点到中点有无数个自由度。但由于是二维空间，所以自由度又总的是有限的，所以是有关系的。
这个关系就是圆的周长乘以圆的半径。我们知道圆的周长为C=2πr
公式说明：
π是圆周率，等于3.14，r是圆的半径
那么圆的内积就等于：
圆的周长乘以半径再除以2。也就是说为S=Cr/2=2πrr/2=π×(r^2)
所以我们得出了圆的面积公式。
圆的内积公式：
S=π×(r^2)
公式说明：
π是圆周率，等于3.14，r是圆的半径。
而三维空间，也就是我们今天非常熟悉的立体空间。我们同样定义中点到立体空间中端点的距离为r。那么中点到端点的距离的总和就是球形的体积。而其中我们仍然用球形的表面积与球的体积公式来推理。
球的表面积计算公式: 球的表面积S=4πr^2， r为球半径 。那么球的体积就是球的表面积与半径相乘再除以3。也就是说，球的体积计算公式为：v球=S球.r/3=4πr^2/3=(4/3)πr^3。所以最后得出了球的体积公式。
球的体积计算公式: V球=(4/3)πr^3, r为球半径
球的内积公式：
V=(4/3)πr³
公式说明：
r是球的半径，π为圆周率，约等于3.14
这就是我们迄今为止，能够得到的推导过程。而这个过程我们发现了一定的规律性。
首先：维度的数目与r的乘方有关系。一维空间，r为1。二维空间。r为r^2。三维空间r为r^3。同理N维空间时r的方数为n。
其次：中点到端点的距离r形成的表面积与体积有乘积关系。一维的时候为2，相当于周长为两个端点；二维的时候为lr/2。周长为圆周；三维的时候为Sr/3，相当于表面积为球面。
再次：端点的总和，与π也有一定的关系。一维的时候是0π；二维的时候是2π；三维的时候是4π。都是2的n-1次方。
最后分母与维度有对应关系。一维的时候，分母为1；二维的时候，分母为2；三维的时候，分母为3。
根据以上的分析，我们得出了多维度空间表面积与内积的通用公式：
Vn内积=2^(n-1)πr^(n-1)r/n=2^(n-1)πr^n/n。其中n大于等于2。
这个公式可以应用到大于2的所有维度中。
我们来推理四维空间超球的公式：
Vn内积=2^(n-1)πr^n /n=2^(4-1)πr^4/4=2πr^4。
推理五维空间的公式：
Vn内积=2^(n-1)πr^n /n=2^(5-1)πr^5/5=16πr^5 /5。大家有兴趣的可以推理着玩。
我们再来看如果n小于2会是怎么样子？
照搬公式：
Vn内积=L=2^(n-1)πr^n /n=2^(1-1)πr^1/1=πr。而我们现实中得出的结论是L=2r。
这是怎么产生的呢。
因为在一维空间，π就萎缩不存在了。只剩下了两个端点。所以变成了2r。而不是公式推理的πr。
这个公式作为自己心力所得，复杂的公式其实有着严密的逻辑关系。我抽丝剥茧，终于将其中的一个方面进行了研究。这篇文章不需要太高深的数学知识，也许大家都能够看懂，希望能够对后面研究多维空间的人有所帮助吧。
注：为了统一，我们可以将端点的总和成为表积。将中点到端点的总和成为内积。
我们如果把线看作一维，那么线段就是线的一部分。我们探索线段的长度就有了如下的公式。
线段的长度公式：L=2r
公式说明：
r是中点到端点的距离。
也就是说线段可以看作是中点到端点距离的两倍。
这是一维空间。所以，在这个空间里。运动的自由度只有两个。
下面我们再来看二维空间。我们也定义中点到端点的距离为r。实际上就是圆的半径。而我们仍然是按照上面的公式推理。则端点到中点有无数个自由度。但由于是二维空间，所以自由度又总的是有限的，所以是有关系的。
这个关系就是圆的周长乘以圆的半径。我们知道圆的周长为C=2πr
公式说明：
π是圆周率，等于3.14，r是圆的半径
那么圆的内积就等于：
圆的周长乘以半径再除以2。也就是说为S=Cr/2=2πrr/2=π×(r^2)
所以我们得出了圆的面积公式。
圆的内积公式：
S=π×(r^2)
公式说明：
π是圆周率，等于3.14，r是圆的半径。
而三维空间，也就是我们今天非常熟悉的立体空间。我们同样定义中点到立体空间中端点的距离为r。那么中点到端点的距离的总和就是球形的体积。而其中我们仍然用球形的表面积与球的体积公式来推理。
球的表面积计算公式: 球的表面积S=4πr^2， r为球半径 。那么球的体积就是球的表面积与半径相乘再除以3。也就是说，球的体积计算公式为：v球=S球.r/3=4πr^2/3=(4/3)πr^3。所以最后得出了球的体积公式。
球的体积计算公式: V球=(4/3)πr^3, r为球半径
球的内积公式：
V=(4/3)πr³
公式说明：
r是球的半径，π为圆周率，约等于3.14
这就是我们迄今为止，能够得到的推导过程。而这个过程我们发现了一定的规律性。
首先：维度的数目与r的乘方有关系。一维空间，r为1。二维空间。r为r^2。三维空间r为r^3。同理N维空间时r的方数为n。
其次：中点到端点的距离r形成的表面积与体积有乘积关系。一维的时候为2，相当于周长为两个端点；二维的时候为lr/2。周长为圆周；三维的时候为Sr/3，相当于表面积为球面。
再次：端点的总和，与π也有一定的关系。一维的时候是0π；二维的时候是2π；三维的时候是4π。都是2的n-1次方。
最后分母与维度有对应关系。一维的时候，分母为1；二维的时候，分母为2；三维的时候，分母为3。
根据以上的分析，我们得出了多维度空间表面积与内积的通用公式：
Vn内积=2^(n-1)πr^(n-1)r/n=2^(n-1)πr^n/n。其中n大于等于2。
这个公式可以应用到大于2的所有维度中。
我们来推理四维空间超球的公式：
Vn内积=2^(n-1)πr^n /n=2^(4-1)πr^4/4=2πr^4。
推理五维空间的公式：
Vn内积=2^(n-1)πr^n /n=2^(5-1)πr^5/5=16πr^5 /5。大家有兴趣的可以推理着玩。
我们再来看如果n小于2会是怎么样子？
照搬公式：
Vn内积=L=2^(n-1)πr^n /n=2^(1-1)πr^1/1=πr。而我们现实中得出的结论是L=2r。
这是怎么产生的呢。
因为在一维空间，π就萎缩不存在了。只剩下了两个端点。所以变成了2r。而不是公式推理的πr。
这个公式作为自己心力所得，复杂的公式其实有着严密的逻辑关系。我抽丝剥茧，终于将其中的一个方面进行了研究。这篇文章不需要太高深的数学知识，也许大家都能够看懂，希望能够对后面研究多维空间的人有所帮助吧。
注：为了统一，我们可以将端点的总和成为表积。将中点到端点的总和成为内积。
