Algebra
什么是代数呢?
这个问题,从3岁10以内数的认识便起步了......
记得小学一年级的的时候第一堂课,数与算数的认识,那便是我我和大部分小朋友的起步了吧……算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分,它研究数的性质及其运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来,并加以整理,就形成了最古老的一门数学——算术。
大约到了四年级到初中以后,当算术里积累了大量的,关于各种数量问题的解法后,为了寻求有系统的、更普遍的方法,以解决各种数量关系的问题,就产生了以解代数方程的原理为中心问题的初等代数。比如解方程,一次,二次,一元,二元,多元......
事实上,到了高中我们学习的代数不等式,函数与导数,这些算是相对高级一些的“中等数学”,我曾经一度以为这差不多是代数和数学的顶峰了吧……实际上是错误的.......这些也是初等数学的基础上的一些东西.(
elementary algebra)
当然,代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。初等代数一般在中学时讲授,介绍代数的基本思想:笼统的说,研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么,以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。显然,这些都是具体的。
这个误会我一直保持了12年......直到大一下学期才开始,我才明白,代数的研究对象不仅是数字,而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质,而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。
高等代数是大一的基础课之一,也是一个跨越性课程,在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,最典型的是向量还有向量空间,向量空间中的运算对象已经不只是数,而是向量了,与矩阵代数的结合,其运算性质也有很大的不同了。
Linear algebra,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。这个尽管我们可能都知道,当时学我也整天念诵 .
但是,当时我的确不知道什么是真正的代数,完全没有群环域模等抽象代数结构的概念........
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集,例如向量、矩阵超数、变换等,这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数。
从初等的古典代数学到抽象的近世代数学,是学习数学的一次最大的进化,在这里,很多初等的代数学方法全部失效了……在初学阶段会遇到难以想象的困难,它包含包含有群(group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支.最重要的是代数结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,这个情况是前所未有的.事实上关于范畴 的引入,一般来说,对象和箭头可以是抽象的任何类型,范畴的概念提供了一个基本而抽象的方式去研究数学中的对象及其关系的方法。 嗯,这好比鲤鱼跳龙门,每个同学都有可能会遇到这个龙门 ,(当然这个和专业不同有关系,比如数学,信息科学,计算科学等等一定会学),如果跳不过去,可能代数学便只能在门口,在初等的代数领域中出不来....... 这个还是很可怕的,我现在也没有跳过去.......
如果有幸跳过去了,在抽象代数中,交换代数旨在探讨交换环及其理想,以及交换环上的模。代数数论与代数几何皆奠基于交换代数。
在往高处走,历史上在20世纪50年代以后,交换代数得到很大发展,模论的研究、同调代数和各种上同调理论的建立,特别是法国数学家A.格罗腾迪克的概型理论,对于交换代数的发展起了巨大的推动作用。概型理论是算术几何化的过程的理论,它将数论和射影代数几何赋以新的高度统一的观点。
继续的话, Lie algebra 它是一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支,与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去,就是非结合代数。
李代数是挪威数学家索菲斯·李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念,它与李群的研究密切相关。
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The ocean of mathematics is boundless
The more you try to learn, the clever you may be!
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前面的参考了大量资料,比如百度百科
最后引武汉大学一个学长(ZhenBing Shang)以前鼓励我的一句话:
只要理解了一定不会遗忘,加油哦!

