一道小蓝本组合极值上的例题

p59例8，若一个集合含有偶数个元素，则称之为偶集，设M={1,2，，，，2011}，如果存在M的k个偶子集，使得其任两个子集的交集都不是偶集，求k的max
这题答案给的是向量法，构造向量，我看的云里雾里，不知道为什么会这样想，而且答案给的是2010，但明明2011也可以（M的所有2010元子集）
求大神帮忙解答一下，不胜感激！