【静思·非水】【算法】有关二分法的讨论

对于没看过“算法”一章的同学，可以先自学《数学 必修3》第一章“算法初步”。
有关二分法的基本介绍在《数学 必修1》已经给出，在此不再赘述。
这个用二分法求平方根（确切地说是求算数平方根）的方法通过不断地平分、比较数字来逼近一个已知数字的算术平方根，自认为效率还是可以的。

这里给出了此程序的流程图。

PS 第一次画流程图，手法比较拙劣，请见谅。

下面举个例子，可以结合上面的流程图来看。
比如要计算37的算术平方根，首先将37除以2：
37/2=18.5
比较18.5^2（即18.5的平方）与37的大小关系，发现
18.5^2>37
于是再将18.5除以2：
18.5/2=9.25
发现9.25^2仍大于37，于是再将其除以2：
9.25/2=4.625
好了，4.625小于37了，此时取4.625和9.25的平均值，得到6.9375。
事实上，之前的几次除以2的运算是在计算那些数字和0的平均值。
现在比较发现6.9375^2>37
于是再计算4.625和6.9375的平均值，得到5.78125
发现5.78125^2<37
于是计算5.78125和6.9375的平均值
以此类推，你会发现这一大一小两个数字之间的范围不断缩小。，最终逼近的数就是37的算术平方根。

于是我们有程序：
long a;
double b,c,d;
char ch;
while(1)
{
printf("输入要开方的数：");
scanf("%d",&a);
b=0;
c=a;
while(1)
{
if((c-b)<=E)
break;
d=(b+c)/2.0f;
if(d*d>a)
{
c = d;
continue;
}
if(d*d<a)
{
b = d;
continue;
}
}
printf("\n%f\n",(c+b)/2);
printf("是否继续？（y/n）\n");
ch=getch();
if(ch=='y' || ch=='Y')
continue;
if(ch!='y' && ch!='Y')
break;
}

程序效果如图，速度很可观，完全是秒出。
之前手动用计算器检验这个方法时可是用了整整一节课啊

事实上，二分法的应用非常广泛。二分法可以用来解一些简单的一次方程，而且可以直接跳过移项中复杂的恒等式变形。
构思了一种可能可用于计算对数的算法
比如我要算ln5
就是解关于x的方程
e^x=5
显然可以用二分法计算x的近似值，从而得到ln5的近似值
而log无非是两个ln的比值。
二分法的一个缺点是对有2个或更多个根的方程（也可以说是在规定区间内没有单调性）会比较无力，这是二分法的原理决定的。事实上，对二分法最友好的是在规定的区间内具有单调性的函数（方程）。

先到这里，之后我可能会做一些其他的东西来充实贴子。
计算平方根的算法很多，现在比较常用的是牛顿迭代法，但那玩意要用到导数的知识，现在看比较**。剩下的就都是高等数学的解法了。
在此向我又怕（上了高中数学几乎没上过100）又爱的数学致敬。