“你知道吗？一元五次方程是没有求根公式的。”
“哦，证给我看啊。”
“涉及Galois理论，你不懂的。”
“那你解一下下面那个方程。”
“都跟你说了没有...**你怎么把解写出来了？！”
“哇，好棒棒啊！大家来看数学大神！”
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适合各种场合装X，不需要懂Galois，不需要懂高数。只要五分钟，你就能学会这种方法！

学会这种方法后，你可以解的五次方程（少量示例）：

我们要用的例子是五次方程里最经典最简单的不可约可解整系数方程x^5-5x+12=0.
任何将解五次方程的课程都必讲的例子。

首先，你需要打开Mathematica。Maple或Matlab亦可，不过我喜欢用Mathematica。
使用Mathematica解出这个方程的近似解。如果系数较大，精确度稍微调高一点，后面会有用。

哦补充一句，首先尝试直接解方程，如果方程可约，就直接用公式了。我们不介绍因式分解。
我们的方法只对不可约有用。
之后任意找一个五次本原单位根zeta，这里我用的是e^(4pi*i/5)，你可以随你喜好选。
之后你的五个根应该是有两对互相长得很像的根和一个孤独的根。把它们简单的分一下组，然后算一下下面的ksi(k),k=1,2,3,4，这个数叫做五次方程的Lagrange预解式。

之后把它们全部五次方，叫做真正的ksi(k)（不好意思我Mathematica力里面符号没选好），它们应该都很接近于实数。

接下来，你需要算ksi们的各种对称和。ksi(1)+...+ksi(4)呀，ksi(1)ksi(2)+ksi(1)ksi(3)+...+ksi(3)ksi(4)呀，ksi(1)ksi(2)ksi(3)+...呀，ksi(1)ksi(2)ksi(3)ksi(4)什么的。你会发现，它们都几乎是一个漂亮的整数。如果不是，第一你可能精度不够；第二你可能需要再换换几个根的位置。在我们的情况中，这四个对称和分别是-12500,7812500,8*5^12以及-5^15.

之后用这四个整数作为一个四次方程的系数，用Mathematica把它的根解出来。
注意符号和韦达公式是一样的，所以是要负正负正原来的系数，别忘了。

然后？然后还等什么啊，你的终点就在眼前啦！摆盘就完啦。
这四个根的和的五分之一就是你要的根啦！怎么把这个数字写的好看那就是你的事啦。
你不信吗？我们用近似值试试看？
哇哦！

该方法不适用于非轮换的情况。
如果五次方程四次项不为零，你可以用简单的线性代换（二项式展开）消掉四次项，这个应该属于高中内容。
之后如果系数不是整数，你可以把根放缩一下。比如把x换成1000x，这样总可以让系数为整数。（看标题，我只讲有理数系数的方程）
之后你就可以背上几个解，然后在同学老师面前大肆炫耀啦！

好啦，这个是不是很简单啊？当然，它靠的是近似。所以不是普遍适用的。那么还有没有别的简单方法呢？有啊。不过这个方法由于比较严谨，所以五分钟估计是学不会啦！当然，依然不需要你了解Galois理论。顺便，我会在结尾给出所有方法的理论支撑，当然这个看懂就必须要你懂Galois理论了。（不过也可能直接鸽掉，我现在都不想打字了）

这个方法来自于Watson,它也部分归功于Cayley.
这并不是主流的做法，因为Dummit的做法更为流行，而且它的f20判别法很精巧。但是，我就是不用，你打我啊。

首先面对一个方程，你需要用线性变换把它的四次项消掉，这个上面说过了，用二项式定理就可以了。
之后你需要先算一下它的判别式delta，它长这样：

先别急着骂，因为这里a=0，所以其实一些项是不用算的。
而且如果你用Dummit的方法，他附录有47页长的式子你到时候再骂不迟。

感谢@好石彩印超市
为我提供的例子，它非常适合讲解这种做法。我就恭敬不如从命了。