令
x=rcosθ
y=rsinθ
得：Ar²cos²θ+Br²sinθcosθ+Cr²sin²θ+Drcosθ+Ersinθ+F=0
Ar²(1+cos(2θ))/2+Br²sin(2θ)/2+Cr²(1-cos(2θ))/2+Drcosθ+Ersinθ+F=0
令θ=θ'+φ
Ar²(1+cos(2θ'+2φ))/2+Br²sin(2θ'+2φ)/2+Cr²(1-cos(2θ'+2φ))/2+Drcos(θ'+φ)+Ersin(θ'+φ)+F=0
r²(A+Acos(2θ'+2φ)+Bsin(2θ'+2φ)+C-Ccos(2θ'+2φ))/2+Drcos(θ'+φ)+Ersin(θ'+φ)+F=0
r²(A+C)/2+r²((A-C)cos(2θ'+2φ)+Bsin(2θ'+2φ))/2+Drcos(θ'+φ)+Ersin(θ'+φ)+F=0
(A-C)(cos(2θ')cos(2φ)-sin(2θ')sin(2φ))+B(sin(2θ')cos(2φ)+cos(2θ')sin(2φ))
(A-C)cos(2θ')cos(2φ)+Bcos(2θ')sin(2φ)-(A-C)sin(2θ')sin(2φ)+Bsin(2θ')cos(2φ)
cos(2θ')((A-C)cos(2φ)+Bsin(2φ))-sin(2θ')((C-A)sin(2φ)+Bcos(2φ))
使(C-A)sin(2φ)+Bcos(2φ)=0
令t=sin(2φ)
(C-A)t+B√(1-t²)=0
B√(1-t²)=(A-C)t
B²(1-t²)=(A-C)²t²
B²=(A²+B²+C²-2AC)t²
t²=B²/(A²+B²+C²-2AC)
t=B/√(A²+B²+C²-2AC)
φ=Arcsin(t)/2

(A-C)cos(2θ'+2φ)+Bsin(2θ'+2φ)
=(A-C)(cos(2θ')cos(2φ)-sin(2θ')sin(2φ))+B(sin(2θ')cos(2φ)+cos(2θ')sin(2φ))
代入φ=Arcsin(t)/2
(A-C)(cos(2θ')cos(Arcsin(t))-sin(2θ')sin(Arcsin(t)))+B(sin(2θ')cos(Arcsin(t))+cos(2θ')sin(Arcsin(t)))
=(A-C)(cos(2θ')√(1-t²)-sin(2θ')t)+B(sin(2θ')√(1-t²)+cos(2θ')t)
代入t=B/√(A²+B²+C²-2AC),√(1-t²)=(A-C)/√(A²+B²+C²-2AC)
=(A-C)²cos(2θ')/√(A²+B²+C²-2AC)-B(A-C)sin(2θ')/√(A²+B²+C²-2AC)+B(A-C)sin(2θ')/√(A²+B²+C²-2AC)+B²cos(2θ')/√(A²+B²+C²-2AC)
=(A²+B²+C²-2AC)cos(2θ')/√(A²+B²+C²-2AC)
=√(A²+B²+C²-2AC)cos(2θ')
→r²(A+C)/2+r²√(A²+B²+C²-2AC)cos(2θ')/2+Drcos(θ'+φ)+Ersin(θ'+φ)+F=0

cos(θ'+φ)=cosθ'cosφ-sinθ'sinφ
sin(θ'+φ)=sinθ'cosφ+cosθ'sinφ
cos(2φ)=2cos²φ-1=1-2sin²φ
2cos²φ=cos(2φ)+1
cosφ=√((1+cos(2φ))/2)
sinφ=√((1-cos(2φ))/2)
代入φ=Arcsin(t)/2
cosφ=√((1+√(1-t²))/2)
sinφ=√((1-√(1-t²))/2)
cos(θ'+φ)=cosθ'√((1+√(1-t²))/2)-sinθ'√((1-√(1-t²))/2)
sin(θ'+φ)=sinθ'√((1+√(1-t²))/2)+cosθ'√((1-√(1-t²))/2)
→r²(A+C)/2+r²√(A²+B²+C²-2AC)cos(2θ')/2+Drcosθ'√((1+√(1-t²))/2)-Drsinθ'√((1-√(1-t²))/2)+Ersinθ'√((1+√(1-t²))/2)+Ercosθ'√((1-√(1-t²))/2)+F=0

cos(2θ')=cos²θ'-sin²θ'
r²√(A²+B²+C²-2AC)cos(2θ')/2=r²cos²θ'√(A²+B²+C²-2AC)/2-r²sin²θ'√(A²+B²+C²-2AC)/2
r²(A+C)/2=r²cos²θ'(A+C)/2+r²sin²θ'(A+C)/2
令x'=rcosθ',y'=rsinθ'
r²√(A²+B²+C²-2AC)cos(2θ')/2=x'²√(A²+B²+C²-2AC)/2-y'²√(A²+B²+C²-2AC)/2
r²(A+C)/2=x'²(A+C)/2+y'²(A+C)/2
Drcosθ'√((1+√(1-t²))/2)-Drsinθ'√((1-√(1-t²))/2)=Dx'√((1+√(1-t²))/2)-Dy'√((1-√(1-t²))/2)
Ersinθ'√((1+√(1-t²))/2)+Ercosθ'√((1-√(1-t²))/2)=Ex'√((1+√(1-t²))/2)+Ey'√((1-√(1-t²))/2)
A'=(A+C)/2+√(A²+B²+C²-2AC)/2
B'=0
C'=(A+C)/2-√(A²+B²+C²-2AC)/2
D'=E√((1+√(1-t²))/2)+D√((1+√(1-t²))/2)
E'=E√((1-√(1-t²))/2)-D√((1+√(1-t²))/2)
F'=F
→A'x'²+C'y'²+D'x'+E'y'+F'=0

如果A'C'>0，A'x'²+C'y'²+D'x'+E'y'+F'=0一定为圆或椭圆。
如果A'C'=0，A'x'²+C'y'²+D'x'+E'y'+F'=0一定为抛物线。
如果A'C'<0，A'x'²+C'y'²+D'x'+E'y'+F'=0一定为双曲线。
A'C'=(A+C)²/4-(A²+B²+C²-2AC)/4
4A'C'=A²+2AC+C²-A²-B²-C²+2AC
4A'C'=4AC-B²
→如果B²-4AC<0，Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0为圆或椭圆。
如果B²-4AC=0，Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0为抛物线。
如果B²-4AC>0，Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0为双曲线。

接下来讨论
Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0
假设AC≠0，配方：
A(x²+Dx/A)+C(y²+Ey/C)+F=0
A(x²+Dx/A+D²/4A²)-D²/4A+C(y²+Ey/C+E²/4C²)-E²/4C+F=0
A(x+D/2A)²+C(y+E/2C)²=D²/4A+E²/4C-F
A(x+D/2A)²+C(y+E/2C)²=D²/4A+E²/4C-F
两边同时除以右边，并同时适当平移，得：
x²/a²+y²/b²=1
其中
a²=A/(D²/4A+E²/4C-F)
b²=C/(D²/4A+E²/4C-F)
其中b²可以为负数。
f²=a²-b²=(A-C)/(D²/4A+E²/4C-F)
e²=f²/a²=(A-C)/A=1-C/A
e=√(1-C/A)

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
φ=Arctan(B/(C-A))/2
绕原点逆时针旋转φ度，得到：
A'x'²+C'y'²+D'x'+E'y'+F'=0
其中：
A'=(A+C)/2+Δ/2
C'=(A+C)/2-Δ/2
D'=D√((1+t)/2)+E√((1-t)/2)
E'=-D√((1-t)/2)+E√((1+t)/2)
F'=F
Δ=√(A²+B²+C²-2AC)
t=(A-C)/Δ or t=(C-A)/Δ