对于任意函数y=f(x)，其实都可以用参数方程表示。

它的反函数，x=f(y)或者y=f^-1(x)，有一个性质，和y=f(x)关于y=x对称。
一些函数，很容易求出反函数的表达式，二次函数、三次函数的反函数就是求根公式，指数函数的反函数就是对数函数，三角函数的反函数就是反三角函数。
但是更多的情况下，反函数无法用初等函数的复合表示出来。
例如

是

在0到x的积分，但是不能用y和初等函数的复合表示x。
类似的函数，还有五次函数，五次以上方程没有求根公式，所以五次以上函数也没有反函数。

但是，虽然很多函数的反函数都没有初等表达式，但是它反函数的曲线却一定可以用参数曲线表示。
因为反函数与原函数关于y=x对称，只要把x和y互换一下，就可以得到反函数的参数曲线表示方法。

反函数的求导法则：反函数的导数，等于原函数的导数的倒数。
x=f(y)
dx/dy=f'(y)
dy/dx=1/f'(y)
一般再代入y=f^-1(x)就可以了

接下来是正题。
很多非代数函数都有用泰勒公式去表示的方法，如果把反函数的参数曲线看成是函数，这个函数应该也可以用泰勒公式去逼近吧。

反函数的一阶泰勒展开，就是原函数在那一点的切线对称的结果。
x≈y0+(y-y0)/f'(y0)
那么我们可不可以从一阶泰勒展开扩展到无穷阶泰勒展开呢？

答案是，可以。
这就是反函数的泰勒公式。

下标的t=x0表示求导后把x0代入。
d^n/df(t)^n表示对f(t)求n阶导数
具体的操作是，每阶对f(t)的求导，先对t求导，再除以f(t)关于t的一阶导数。
以下是四阶反函数导数表，可以与原函数的导数对照来确认表达式。

也许求和符号表示起来有点不直观，下面就比较直观了。

这种泰勒级数是有奇点的，可以很明显看出，奇点就是原多项式函数一阶导数为0的点。
而原函数的零点（和x轴的交点）就是反函数在x=0的时候的值，所以对于反函数泰勒级数，只要代入x=0，就可以近似求出原多项式函数的根。

5年级表示:

对于y=x^3-3x+1，在x=±1的时候是极值，对应的高度是±2，所以反函数泰勒级数取x_0=0的时候，在绝对值大于2的时候是发散的。

y=x^4，y=x^3，反函数都不可以选择在x=0泰勒展开，因为一阶导数为0。

泰勒级数，即使奇点不在实数集，也会影响到收敛。
y=1/(x^2+1)，奇点为±i，不在实数集，但是如果在x=0展开，展开式为1-x^2+x^4-x^6+……，在x绝对值小于1收敛。
以原点为中心，(0,1)为圆周上的点绘圆，与实数轴的交点正是(-1,0)和(1,0)

同理，对于函数y=x^3+3x+1，它的导数为y=3x^2+3，3x^2+3=0的解为x=±i，分别把x=i，x=-i代入x^3+3x+1得到2i+1和-2i+1。
由于原函数的值域就是反函数的定义域，所以反函数的泰勒级数的奇点就是2i+1和-2i+1。
反函数在x=1泰勒展开，那么收敛区域就是-1到3，因为到奇点的距离是2

@玛丽之神004