作为Z-模，Tensor Product保持了一种双(多)重线性结构。具体在模范畴的构造是次要的，主要你要看构造后保持的公理。比如说我们定义积拓扑和盒拓扑时要保持一种拓扑结构一样。然后我不知道你在说什么：注意到和式是finite sum，和可不可数挂上什么勾了？

F 中的元素形如
x = n_1(a_1,b_1) + n_2(a_2,b_2) + ... + n_k(a_k,b_k)，
其中 n_j 为整数，a_j 属于 A，b_j 属于 B，j=1,2,...,k，k 属于自然数。
我们把 F 中形如 (189) 的元素放在一起，让 F_0 为这些元素生成的群，
考虑商群 F/F_0，则 F/F_0 中的元素就自动满足 (190) 这些性质。

189定义了一种等价类。你可以通过例子来理解。比如A是(Z,+)群，A就是{...,-e, 0 , e , 2e,3e,.....}，让B表示实数，B={cf | c属于R}，e,f是两个字母用于区分A,B中的元素。那么AxB ={(ke, cf) | k属于z, c属于R}。因为A,B都是群，所以AxB自然定义了群运算。然后式子189定义了AxB中的一些等价类，也就是式子189告诉你AxB中有些元素是等价的，比如(6e, 4.4f)等价于(3e, 8.8f)，（2e+3e, 7.3f）等价于（2e, 7.3f）+(3e, 7.3f), (后面的+号表示AxB中的群运算)。然后所有等价的元素构成一个叫等价类的东西，现在把每一个等价类看成是一个元素，所有的等价类组成的集合就是A \otimes B（\otimes 表示你图中有个圆圈里面有个X的符号）。你可以很容易证明A \otimes B是一个群。
说简单点，就是AxB是一个群，然后让里面的某些元素等价，所有等价的元素看成是一个元素，剩下的东西就是A \otimes B。
后面的proposition 192 告诉你有一个更简单的办法去理解 A \otimes B。 比如A是R^2, B是R^3， A={ce+df | c,d属于R}, B={ai+bj+ck | a,b,c属于R}， e，f, i, j, k是字母用于区分A,B中的元素 (换句话说， A是由e,f生成的群，B是由 i, j, k生成的群)， 那么 A \otimes B 就是一个由{ei, ej, ek, fi, fj, fk}生成的群。