记连通集为A,其闭包为B（上标那个符号不好打，这里用B代替了）.
若B不连通,则B可以分解成两个即开又闭的集合U和V的并,即B=U∪V,其中U,V都是即开又闭的开集,且U∩V=∅.
则一定有要么A∩U=∅,要么 A⊆U(否则A∩U就是子空间A中即开又并的集合,与A是连通的矛盾).
若A∩U=∅,则一定有A⊆V(对V进行类似的讨论,又A∩V一定不为空).此时对两边同时取闭包,有B=U∪V⊆V,即U⊆V,矛盾;
若 A⊆U,与前述相类似的论述可得矛盾.
综上，B是连通的.
若B不连通,则B可以分解成两个即开又闭的集合U和V的并,即B=U∪V,其中U,V都是即开又闭的开集,且U∩V=∅.
则一定有要么A∩U=∅,要么 A⊆U(否则A∩U就是子空间A中即开又并的集合,与A是连通的矛盾).
若A∩U=∅,则一定有A⊆V(对V进行类似的讨论,又A∩V一定不为空).此时对两边同时取闭包,有B=U∪V⊆V,即U⊆V,矛盾;
若 A⊆U,与前述相类似的论述可得矛盾.
综上，B是连通的.
