【其他】高斯公式啊求解

大神呢

z=√(a²-x²-y²)，取上侧，不封闭
于是设z=0，取下侧
整个曲面取外侧
对于z=0处，D为x²+y²≤a²
I=∫∫Σ ay² dxdy
=-∫∫D ay² dxdy，轮换对称
=-(a/2)∫∫D (x²+y²) dxdy
=-(a/2)∫(0,2π) dθ ∫(0,a) r³ dr
=-(a/2)(2π)(a^4/4)
=-πa^5/4
定理部分：
I=∫Ω (3x²+3y²+3z²) dV
=∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,a) 3r^4 dr
=(2π)(1)(3a^5/5)
=6πa^5/5
原本积分要减去z=0的部分，
即I=6πa^5/5-(-πa^5/4)=29πa^5/20

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