734 兩三角形共等角共軛點

大概從去年暑假開始思考幾個三角形可以確定一對(廣義的)等角共軛點, 陸陸續續得到一些結果, 先丟一題試試水溫 .

好吧既然沒人給出解答，在下就獻醜了，T神莫笑~
引理：給定三角形ABC，設DEF為ABC的任一西瓦三角形.則存在一點P，過P作DEF和ABC的垂線形成對應的兩個垂足三角形，這兩個三角形共圓心.
題目的證明：記P在△ABC的垂足為A'、B'、C'，在DEF的垂足為D'、E'、F'.由引理，△A'B'C'的外接圓與△D'E'F'的外接圓共圓心O.記△A'B'C'的外接圓與△ABC依次交於X、Y、Z，不難證明過X、Y、Z且垂直於△ABC的三邊的三線共點.記為Q，則易知OPQ共線且OP=OQ，從而P、Q為△ABC等角共軛點，△XYZ的外接圓為P、Q所公用的垂足圓.類似地，不難證明對於△DEF，P、Q為其等角共軛點.從而，命題得證.
注：原想法是考慮兩三角形對應的斯坦納圓共圓心，但很繁瑣且沒什麼思路（參攷16年中國國家集訓隊二輪選拔測試第一題）.在搜尋有關等角共軛性質時發現了一些有關垂足圓和密克角有關的性質，於是產生靈感（大致是這麼做的，具體細節可以修正）.

另附图一张~