无事水，关于一元三&四次方程的简明精巧的初等解法

羊镇，初高中的毛毛们有兴趣的话可以看一看

高三狗马住

今天老师讲到了这个，觉得解法很美妙，所以分享一下

首先x²+ax+b=0形式的一元二次方程解法毋庸赘述，考虑求解方程形式为
x³+ax²+bx+c=0，
x^4+ax³+bx²+cx+d=0。

四次方程降为三次思路较易理解，
首先对于
x^4+ax³+bx²+cx+d=0,
作代换y=x+a/4，易将本方程化为y^4+py²+qy+r=0形式。
（同理作代换y=x+a/3可将上述一元三次方程化为y³+py+q=0，下文沿用此形式）

对于
x^4+px²+qx+r=0，
可化为
（x²+p/2）²=p²/4-qx-r，
右边-qx项不易处理，由此设想，将上式化为
（x²+p/2+u）²=（mx+n）²，
进而求解。
m,n易确定为√（2u）与-q/2√（2u），从而可解出关于u的一元三次方程表达式（老师写出来了，具体我也没算

），
也即化为了一元三次方程的求解问题。

而对于 x³+px+q=0 的求解，
最精妙的一步是表面上的化简为繁
x=t+u，u、t为两变量，
由此，原方程化为
u³+t³+（3ut+p）x+q=0。
注意到u,t为变量，
倘令p=-3ut成立，即有t=-p/（3u），
同时上式化简为u³+t³+q=0，
将t用u代换即可解出u³，进而解出u。
进而得t，得x。