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正午太阳高度的计算，在中学地理教学中常被视为重难点，太阳高度等于90º减去两地纬度之差。即H=90º-1φ-δ1。
在中学里，太阳高度的计算局限于正午时刻的，就是当地地方时为12：00的太阳高度。那么对于任意时刻的太阳高度如何计算，如8：00、10：00、14：00。
计算太阳高度，可以帮助我们及时调整太阳能集热板的倾角，有利于最大限度地使用太阳能，对于提高太阳能的使用效率有着重要的意义。下面我们就来探究关于太阳高度的计算问题。

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回来了，继续

首先，我们来了解一下天文学上通用的一种方法。
方法一：解天文三角形
太阳高度的大小与三个因素有关：①当地纬度 ②太阳赤纬(即直射点纬度) ③太阳时角(即太阳在周日圈上的位置) 根据这三个变量，我们可以在天球上建立一个球面三角形。
如图，Q为上点，P为天极，Z为天顶，S为太阳。将太阳、天极、天顶二者连接起来可以构成一个球面三角形。这个球面三角形的三边由午圈、时圈和平经圈的弧段构成，称为天文三角形和ZPS角形。其中，弧PZ为天顶极距，即当地纬度的余角(90º-φ)。弧ZS为太阳的天顶距，即太阳高度的余角(90º-h)弧PZ为太阳的极距，即太阳赤纬的余角(9oº-δ)。t为当时太阳的时角。
在这个球面三角形中，已知三边及一夹角可代余弦公式：
cos（90º-h）＝cos（90º-φ）cos（90º-δ)+sin（90º-φ）sin（90º-δ）cost
将上式化简得
sinh＝sinφsinδ+cosφcosδcost
即 h＝arcsin（sinφsinδ+cosφcosδcost）
这就是计算任意时刻太阳高度公式。

如果你使用过这个公式，去发现它有一个致命的缺陷，就是参数代入后无法计算出正确的数值。最终也只能在特殊角的情况下估值，所以我们要探究其他计算方法。
方法二：重建球面三角
前面用解天文三角法推导出来了公式无法计算出结果，或许球面三角的建立的问题。所以我们可以重建球面三角。
如图，当二分日，太阳周日圈与天赤道重合，因此我们不用考虑太阳赤纬。过太阳S作与地平圈垂直的弧段，交地平圈于点P。(图中未注明，自行脑补)，以太阳周日圈、平经圈、地平圈的弧段为三边组建一个球面三角形。S为太阳，O为观测者，W为西点。t为从日出时刻到该时刻太阳扫过的圆心角的度数，即(该时刻-日出时刻)＊15º，h为当时的太阳高度角，天赤道与地平圈的夹角为当地纬度的余角，即90º-φ。
在球心三面角0-WpS中，已知两角及一边，可代余弦公式：
sint/sin90º＝sinh/sin（90º-φ）
变形及化简后得
h＝arcsin（sintcosφ）
上式就是计算二分日任意时刻太阳高度的公式。
但是，重建的球面三角只能用于二分日任意时刻太阳高度的推算。如果不是二分日，太阳轨道平面则未过天球球心。这时还需要考虑太阳赤纬，然而太阳赤纬与太阳扫过的角度、周日圈与地平圈的夹角不能组建为一个球面三角形。所以无法计算
。我们还需探究其他的方法。

方法三：利用等太阳高度线原理计算太阳高度差
前面两种方法都是从太阳视运动的角度去考虑的，都无法计算出任意时刻的太阳高度，也许我们可以尝试从太阳高度的分布这个角度去考虑。
我们知道，任何时刻太阳只能照亮地球的一半。在昼半球，晨昏线上的太阳高度为0º，太阳直射点为90º。太阳高度由太阳直射点向晨昏线(圈)有规律的递减。我们将昼半球太阳高度相等的点连接起来，就得到了以太阳直射点为中心呈同心圆分布的等太阳高度线图。
我们知道，两地正午太阳高度差等于纬度差。如下图，A、B两地同在太阳直射的经线上，若A、B两地纬度相差50º，则B地与直射点A地太阳高度相差50º，B地的太阳高度为H=90º-50º＝40º。同理，将地球表面的A、C两地连接起来，得到弧AC。由于弧AC是过地心大圆的弧段，因此，可以将A、C两地看成是同一经线上的。这时，只要我们求出弧AC所对圆心角的度数，便可得知c地与直射点A的太阳高度差，从而算出C点的太阳高度。

用此方法计算任意时刻的太阳高度分为以下几个步骤：
1.算太阳直射点的经纬度。太阳直射点的经度可以根据你所在地的地方时来推算，纬度则利用日期推算。公式为C=arcsin(sinAsinB)。A：从春分日起算到该日天数/半年天数＊π B：黄赤交角
2.计算该地与太阳直射点的最短距离(或最短距离所对的圆心角度数)，得到两地太阳高度差。具体方法等会详细介绍。
3.算该地太阳高度。H=90º-太阳高度差。
例：某地的经纬度为(30ºN，120ºE)，求该地夏至日上午10：00的太阳高度？
根据地方时算太阳直射点的经度。
120ºE+(2＊15º)=150ºE
所以太阳直射点的地理坐标为［23º26′N，150ºE］。
计算两地最短距离所对的圆心角，这个我要详细说一下。
首先，我们要以地心为原点建立一个空间直角坐标系。将A、c两地及其所在经线与赤道的交点与地心连接起来，并过点A、C作赤道半径OE、OF的垂线，垂足为B、D。过点A作CB的垂线，垂足为G。α为C地的纬度，β为A地的纬度，γ为两地经度差。φ就是我们要求的圆心角。
在Rt△COB中
CB=Oc＊sinα=6371＊sin30º=3185.50km
OB=√(Oc^2-CB^2)=√(6371^2-3185.50^2)≈5517.45km
在Rt△AOD中
AD=OA＊sinβ=6371＊sin23º26′≈2533.63km
OD=√(OA^2-AD^2)≈5845.54km
在△BOD中
BD=√(OD^2+OB^2-2＊OB＊OD＊cosγ)=√(5845.54^2+5517.45^2-2＊5517.45＊5845.54＊cos30º)≈2957.98km
在Rt△AGC中
CG=CB-GB=3185.50-2533.63＝651.87km
GA=BD＝2957.98km
AC＝√(CG^2+GA^2)＝√（651.87^2+2957.98^2）≈3028.96km
在△AOC中
φ=arccos[(Oc^2+OA^2-AC^2)/(2＊OC＊OA)=27º30′
故该地的10：00的太阳高度为
H=90º-27º30′＝62º30′
可见，难度最大的就是计算两地球面最短距离的圆心角，当然，如果嫌麻烦也可以不使用我的方法，计算两地最短球面距离有公式：
设A、B经纬度为(jA，WA)(jB，WB)，则半径为R球面上两点间最短距离为
弧AB＝R＊arccos［sin（WA)sin(WB）+cos(WA)Cos(WB)c0S(jA-jB)］
求出弧长再转化为圆心角的度数就可以了。

完~
参考文献：地球概论_金祖孟_球面三角法简介
鸣谢：刘聪
(转载请注明出处)
2017.1.25 S.T.圣德里斯

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