【理论向/娱乐向】用泛音规律做了一道计算题

2楼

前提：十二平均律，纯律，五度相生律的计算都是各不相同的。我这里用的计算方法暂且叫做“分音相生”或“泛音相生”吧

已知条件：
钢琴最高音c5定4186Hz
然后，A2为27.5 Hz, A1为55Hz, A为110Hz, a为220Hz , a1为440Hz, a2为880Hz, a3为1760Hz, a4为3520Hz 如图

现在我们来计算其它各音的频率
方法：首先，在琴弦上按住比空弦高纯四度的位置（如果拿古典吉他来说，那个位置是第五品，不过小提琴指板是不设品的）
虚按这个位点可以奏出一个自然泛音，它比该位置实按的音高出十二度（相当于八度再加纯五），它比空弦音高出十五度（相当于两个八度）。这个点按理说是从琴枕至琴马弦长的4分之一点，这个点以上的部分与以下的部分为1比3（长度），驻波出现后，上段振动频率为下段的3倍。那么，计算就开始了

（一）在E弦算得E的频率
空弦e2，按I把3指实音a2，自然泛音e4
推算e4频率为880×3=2640
于是e3为1320 e2为660 e1为330

（二）在A弦算得D频率
空弦a1，1把3指实按d2，自泛a3
耳验音准：a2的实音和泛音同位都在中点，也就是III把位4指的扩指位。应该等高于右边E弦的I把3指
推算d2=1760÷3=586+2/3 d3=1173+1/3 d1=293+1/3

（三）D弦得G
空d1，实g1，自泛d3
g1×3=d3, g1=391又1/9 g2=782又2/9

（四）G弦得C
空g，实c1，自泛g2
c1=g2÷3
=（780+2+2/9）÷3=260+2/3+2/27
=260+20/27 c2=521+13/27
这样算出来的c1比正常定音的261.626要低一些

接下来需要在小提琴原本的4根弦左右两侧按五度关系分别脑补出假想的“C弦”和“B弦”
（五）脑补“左C弦”得F
空c实f泛c2，f=173+2/3+13/81=173+65/81
脑补“右B弦”得B
空b3实e4泛b5
此处偷个懒省略b的计算

（六）验算
根据第（四）步和第（二）步
d1取293.3333333，c1取260.7407407
d1/c1=理论系数的平方1.125，经验算，1.125的6次方为2.02728653约等于2
而所谓理论系数，若按十二平均律而言，系数就该是2的十二次方很。
2^(1/12) = 1.0594630943593
因此，第一个验算成功
另外，
g1×理论系数的平方应该=a1
根据第（三）步
g1取391.1111111，乘以1.125得440
哟~果然是440，于是第二个验算也成功了

总结，这种把弦长切为1比3的位点，这是造就人工泛音的方法基础。例如《查尔达什》中的泛音句就是1指实按点与4指虚按点两者相差四度，而奏出的泛音实际音高为1指点之上15度，4指点之上12度，且“1指点与4指点距离”为“4指点与琴马距离”的三分之一。
所以说，这种人工泛音与自然泛音相比较，就是用1指巧妙代替了弦枕。

补充：其它常用自然泛音
二分点：
8度实音在12品（假设有品的话），1/2弦长，此处虚按出自然泛音与实按等高，比弦枕（空弦音）基音高8度，吉他的泛音常用这种；
三分点：
5度实音在小提琴I把4指，或在吉他7品，上1/3弦长，2比1倍率，此处自然泛音比实按高8度，比基音高12度。当然了，如果按到高把位的下3分之一弦长点，也可以奏出相同的泛音。但一把位比高把位容易找准，何乐而不为。
四分点已经在以上计算中说过了
五分点：
大3度实音在吉他4品，在小提琴G弦的2指si，D弦的升fa，A弦的升do，E弦的升sol。推算为1/5弦长（实际测量可见有小偏差），4比1倍率，自然泛音比实音高15度，比空弦基音高17（两8度再加大三度）
六分点：
小3度实音在吉他3品，小提琴的降si，fa，do，sol。约1/6弦长，自然泛音比实音高17度比基高19（两8度加5度或12度加8度）

更完