1、设a是K中任一元，a在F上的极小多项式为f(x),a作为E上的代数元其极小多项式为g(x),则g(x)整除f(x).由于K是F的正规扩域，所以f(x)的所有根都落在K上，因此g(x)的所有根都落在K上，即K是E的正规扩张
4、设[E:F]=2,任给a∉F，a∈E，则a在F上的极小多项式为2次多项式，设其为f(x)=x^2+bx+c∈F[x]。假设f(x)还有一个根a',为了证明E的正规性只须证明a'∈E即可。由于a+a'=-b,显然a'=-b-a∈E，于是f(x)在E上分裂，故E是F的正规扩张

这题怎么做@数学好玩啊123

由于8=2^3即[E:Z2]=3，在Z2里找一个3次不可约多项式，如f(x)=x^3-x+1。不妨设f(x)有一个根为a,则不难证明f(x)在Z2上的分裂域E=Z2(a)，(因为若b是f(x)另一个根，则a和b有相同的极小多项式，故Z2(b)与Z2(a)同构),E是一个8元域GF(8)

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5\设a满足极小多项式g(x)=x^n+a1x^(n-1)+……+a_n-1x+an=0，注意到an≠0，所以a^n+a1a^(n-1)+……+a_n-1a=-an，左边提出a且两边除以-an得到af(a)=1，即a-1=f(a)
6、显然LM含于K，要证LM是域，容易看出对任给a,b∈LM，a+b,a-b,ab都属于LM，故只需证明a-1∈LM即可。因为a∈F(l1,l2,……,l_n;m1,m2,……,m_n)，且li,mi都是F上的代数元，所以F(l1,l2,……,l_n;m1,m2,……,m_n)是F的代数扩域，因此a-1∈F(l1,l2,……,l_n;m1,m2,……,m_n)，于是a-1∈LM，故LM是中间域。