应该没问题

在R^n上的测度可不可以推广到流形，主要是看它是否和坐标变换兼容。
比如黎曼度量就和坐标变换无关，所以如果在流行上加上黎曼度量，那实际上黎曼流形的“形状”是固定的。有一个定理说黎曼流形保距离微分同胚都R^n的子集，n取一个足够大的数字。所以很明显你可以在流形上定义集合的体积，大小之类的，和R^n上是一样的。所以也可以定义可积函数。
流形基本上就是把欧式空间用胶水粘起来，由于测度是可数可加的，所以欧式空间的测度能否推广，要看坐标变换。你如果想在流形上定义一个测度，可能要借助坐标，但是不能和坐标有关，要检验一下坐标变换是否有影响

回复一下上面的问题。这样定义流形是因为这样最合理。大部分数学研究需要借助欧式空间，由于豪斯多夫和第二可数，流形其实就是欧式空间上的几何物体（欧式空间的子集）。局部欧几里得使得流形有固定的维数。
现在有了一个几何物体，自然要去研究它上面的函数和映射，这时候出问题了。函数的连续，可微之类的概念会受坐标的影响。所以我们通常要坐标变换是光滑，这样就可以说函数是否可微。然后我们就可以微积分了。
研究一个物体（点集，空间之类的），有时候并不用关心它的具体形状：只想知道它的大概形状，这个“大概形状”叫拓扑（topology）。比如这个东西有多少个洞，有没有边界之类的。

有时候，你想知道一个东西的具体形状，叫几何（geometry）。这时候，你就要知道两点的距离，在流形上，要通过切空间，切向量丛和余切向量丛等来定义距离。

有些东西并不一定有稳定的维数，你以后或许会接触到。这些东西不是局部欧几里得，叫cw复形，这时候就要引入一个叫同伦的概念（一个物体如果可以通过连续变形变成另一个物体，那这两个物体就是同伦的（homotopic））。

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