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个人的浅薄理解：调和函数由其边值决定，可以由此将区域边界的函数问题延拓到区域内解决。而调和函数优良的性质有助于问题的分析与解决。物理意义不太清楚，只知道静止的弹性膜是调和的。

首先，调和函数是齐次调和方程的解，调和方程是我们在学的三大类PDE中（波动方程、热方程、调和方程，也叫双曲方程、抛物方程、椭圆方程，事实上，所有的二阶PDE可被这三类方程完全分类，而生产生活中的模型几乎都是二阶PDE模型。）唯一没有时间变量的方程，这也就说明它可以看做是热方程的稳态形式（时间趋于无穷大，空间处处温度相等，热量不再传递，方程中时间变量自然消失）。正因为此，在物理中，我们不仅要考虑物理反应过程中各物理量（比如温度）的变化，还要考虑后果，即稳态形式如何。
其次，在数学上，调和方程是我们避不开的要解决的问题，而另外两类二阶PDE都有初步可行的解法（姑且这样说吧，毕竟它们都有时间变量，容易处理，特别是实际上我们都是利用计算数学的方法求解函数的估计）。而只有调和方程没有统一的解法（现有的也都对空间区域范围、形状等要求太苛刻），这促使我们要大力发展调和分析（高于古典数学分析、经典实变函数和泛函分析），这种更先进、更现代的分析工具去解决调和方程。
在这样的背景下，调和方程、调和分析、调和函数当然重要。（你如果只关心调和函数的话，我的答案就不够准确了，它有更详细、具体的背景。）