【大一】关于泰勒公式与泰勒中值定理的条件

预习泰勒公式蒙了 求大神帮助 谢谢
一个是x0处有n阶导数
另一个是在某区间有n+1阶导数
这分别都代表什么
为什么第一个证明时只能用n-1次洛必达，而第二个证明时可以用n+1次柯西中值定理？
我的表述可能有问题