（y+ε）的n次方，和y-ε的n次方要放缩的话得用到二项式定理，也就是要用到排列组合和级数的理论，可是陶在这里还没有定义级数，排列组合这些东西啊。
陶在课后习题那里给的提示也是说要参照5.5.12的证明，所以其实我也有点纳闷。

定理16：xx是正实数，nn是正整数，则(x1n)n=x(x1n)n=x.
引理16.1 对于任意给定的实数t>1t>1,和任意给定的自然数nn，必定存在正整数kk,使得1<(1+1k)n<t1<(1+1k)n<t.
证明:⇔:(1+1k)n−1<t−1⇔1k[(1+1k)n−1+(1+1k)n−2+⋯+1]<t−1⇔:(1+1k)n−1<t−1⇔1k[(1+1k)n−1+(1+1k)n−2+⋯+1]<t−1.当kk足够大时，1+1k<t1+1k<t,此时，(1+1k)n−1+(1+1k)n−2+⋯+1<tn−1+tn−2+⋯+1(1+1k)n−1+(1+1k)n−2+⋯+1<tn−1+tn−2+⋯+1.可见，我们只用让1k[tn−1+tn−2+⋯+1]<t−11k[tn−1+tn−2+⋯+1]<t−1即可，这是容易的，我们只用让k>tn−1+tn−2+⋯+1t−1k>tn−1+tn−2+⋯+1t−1即可.
引理16.2 下证若0<x<an0<x<an,则存在实数bb,使得x<bn<anx<bn<an.
这个引理等价于，若anx>1(a,x∈R+)anx>1(a,x∈R+),则存在实数bb,使得anx>anbn>1anx>anbn>1.令t=anxt=anx,由引理16.1，我们得存在正整数kk使得1<(1+1k)n<t1<(1+1k)n<t.令b=a1+1kb=a1+1k即可.
现在来证明原命题：假若(x1n)n<x(x1n)n<x,则由引理16.2，存在实数bb使得(x1n)n<bn<x(x1n)n<bn<x,则bb属于EE且大于EE的最小上界，矛盾.因此(x1n)n≥x(x1n)n≥x.假若(x1n)n>x(x1n)n>x,则由引理16.2，存在实数bb,x<bn<(x1n)nx<bn<(x1n)n.则bb是EE的上界，且小于EE的最小上界，矛盾.综上，(x1n)n=x(x1n)n=x.
源于http://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/10/06/3827926.html

第一步：用归纳法证明下述两条引理
(a) 对任意正实数 x,y，以及任意自然数n，如果 y^n > x，则存在一个实数m, 使得 (y - m)^n > x
(b) 对任意正实数 x,y，以及任意自然数n，如果 y^n < x，则存在一个实数m, 使得 (y + m)^n < x
第二步：运用反证法 可得 y^n = x

提供另一种思路:
把 定理5.5.9中 构建出的两个等价柯西有理数数列记为 a_k 和 b_k (a_k <= b_k)
易知 y^n = LIM (a_k)^n = LIM (b_k)^n
且 (a_k)^n <= x
(b_k)^n >= x (用我之前提的引理(b)结合反证法)
由习题5.4.8可知 y^n <= x & y^n >= x
所以 y^n = x

可怕