rt,一个斯坦福大学代数几何phd曾总结的: Kodaira的三大工作:
(1)Kodaira证明了当复流形上的Kaehler form的上同调是有理的时候,该复流行就可以全纯嵌入到复射影空间之中.而且也证明这是唯一的条件.至今称为Kodaira embedding.
(2)Kodaira把意大利学派对复曲面初步工作做了全面性地毯式的推广,对复曲面利用他的 “Kodaira dimension”作了一个本质上的分类,对分类中的几个大项都做了完全的讨论,尤其是对曲面作为一个over曲线的fibration,对其sigular fiber(椭圆情形)作了分类,至今称之为Kodaira Classification.
(3)Kodaira研究了复流形的变形理论,对一阶变形做了详细的了解.将一阶变形表达为切丛的第一阶上同调群,证明了至今称为Kodaira Spencer映射的存在性。
这三个工作,不论是哪一个都是无比的巨大.每一个工作都没有做完,但都做了开创性的一步,也显现了复曲面理论的三个主要观点:做为射影空间的子簇,作为over一个更低维度流形的fibration,作为其他更好了解的复流形的变形.
配合Chow的工作,Kodaira和Chow完全刻画那些可以做为射影空间子簇的复流形,知道她们正是那些用多项式在射影空间切出的子簇.复几何从此成为代数几何的心腹(大患)
嵌入定里使用了正曲率向量丛之上同调的消灭定理,这个消灭定理对高维流形的分类起了作用,也引发了后续的研究比如寻找更强的消灭定理
对曲面的分类,留下了general surface和她们的moduli问题,其使用的fibration技术,成为人们研究曲面和更高维流形的主要工具
变形理论被Kuranishi更一步拓展.证明了有名的Kuranishi Obstruction Theory(障碍理论), 描述复流形变形的障碍,发现了Kuranishi 映射,成为理解曲面(或任何代数几何研究对象)模空间局部图形的刻画方法.其数论面被Nicolas Katz研究其over Spec Z的变形性质, 帮助了Deligne证明Weil猜想.
Kodaira是神