不会写

@超级马里奥045 第六题

重庆范本库科技有限公司

2025-02-08 16:13广告

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解：
f '(x) = x *e^x
记 f(x) 的 n 次方为 [ f (x) ] ^{n} ，
由莱布尼茨公式，有
[ f (x) ] ^{n} = x * [e^x]^{n-1} + n * x' * [e^x]^{n-2} = x * e^x + n * e^x
[ f (0) ] ^{n} = 0 * e^0 + n * e^0 = n

或者：
f '(x) = x *e^x
将其在0点泰勒展开
则 f '(x) =x[1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x)]
所以f (n+1)(0) =n!/(n-1)!=n

x∑(n,0,∞) x^n/n!＝∑(n,0,∞) x^(n＋1)/n!
＝∑(n,1,∞) x^n/(n－1)!
与f(x)＝x＋∑(n,1,∞) f^(n)(0)x^n/n!比较
f^(n)(0)/n!＝1/(n－1)!
即(xe^x)^(n)(0)＝n!/(n－1)!＝n

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